階層モデルと縮小推定

多くの推定値に助け合わせる

$50$ 銘柄の平均リターンがあるとします。見た目の良い銘柄は、一部は本当に良く、一部は運が良かっただけです。階層モデルでは、真の平均 $\theta_i$ はすべて1つの共通の母集団から来る（$\theta_i\sim N(\mu,\tau^{2})$）と考え、観測された平均 $y_i$ は真の平均に標準誤差 $s_i$ のノイズが乗ったものとします。すると銘柄自身のデータがグループと組み合わされ、推定値はグループの平均 $\mu$ のほうへ引き寄せられます。この引き寄せを縮小推定（シュリンケージ）といいます。

縮小係数 $B_i$ は、グループに与える重みの割合です。ノイズの大きい銘柄（$s_i$ が大きい）は $B_i$ が $1$ に近く、グループ平均に強く引き寄せられます。精度よく測れた銘柄（$s_i$ が小さい）はほぼ自分の値を保ちます。$\tau^{2}$ が未知なら広がりから推定します。銘柄間の $y_i$ の分散は $\tau^{2}$ に $s_i^{2}$ の平均を足したものに等しいので、$\tau^{2}$ はその分散から平均ノイズを引いたもの（$0$ 未満にはしない）です。広がりがノイズだけで生じる程度なら $\tau^{2}=0$ で、すべての銘柄が1つの推定値を共有します。

• 階層モデル：真の平均は共通の母集団から来るので、各銘柄のデータが他のすべてを助ける。
• 縮小 $B_i=s_i^{2}/(s_i^{2}+\tau^{2})$：ノイズの大きい推定値は大きく動き、精度の高いものはほとんど動かない。
• $\tau^{2}$ の推定：銘柄間の分散から平均ノイズを引く（$0$ 未満にはしない）。

ラボ：採点される内容

• 縮小係数15点
• Aの縮小後の平均15点
• Bの縮小後の平均10点
• Aの事後の広がり10点
• tau二乗を推定する15点
• 誰が最も縮小されるか10点
• 用語を結び付ける10点
• なぜ縮小が役立つのか15点