Modelos hierárquicos e encolhimento

Deixar muitas estimativas se ajudarem

Suponha que você tenha o retorno médio de $50$ ações. As de melhor aparência são em parte boas e em parte sortudas. Um modelo hierárquico diz que todas as médias verdadeiras $\theta_i$ vêm de uma população comum, $\theta_i\sim N(\mu,\tau^{2})$, e que cada média observada $y_i$ é a média verdadeira mais ruído com erro padrão $s_i$. Os dados próprios da ação são então combinados com o grupo: a estimativa é puxada para a média do grupo $\mu$. Esse puxão se chama encolhimento.

O fator de encolhimento $B_i$ é a parte do peso dada ao grupo. Uma ação ruidosa ($s_i$ grande) tem $B_i$ perto de $1$ e é muito puxada para a média do grupo. Uma ação medida com precisão ($s_i$ pequeno) mantém quase seu próprio valor. Se você não conhece $\tau^{2}$, estime-o pela dispersão: a variância dos $y_i$ entre ações é $\tau^{2}$ mais a média de $s_i^{2}$. Então $\tau^{2}$ é essa variância menos o ruído médio, nunca abaixo de $0$. Se a dispersão não for maior do que o ruído sozinho produziria, $\tau^{2}=0$ e todas as ações compartilham uma só estimativa.

• Modelo hierárquico: as médias verdadeiras vêm de uma população comum, então os dados de cada ação ajudam todas as outras.
• Encolhimento $B_i=s_i^{2}/(s_i^{2}+\tau^{2})$: as estimativas ruidosas se movem muito, as precisas quase nada.
• Estimar $\tau^{2}$: variância entre ações menos o ruído médio, nunca abaixo de $0$.

Lab: o que é avaliado

• O fator de encolhimento15 pts
• A média encolhida de A15 pts
• A média encolhida de B10 pts
• A dispersão posterior de A10 pts
• Estimar tau ao quadrado15 pts
• Quem é mais encolhido10 pts
• Associar o vocabulário10 pts
• Por que encolher ajuda15 pts