Hierarchische Modelle und Shrinkage

Viele Schätzungen einander helfen lassen

Angenommen, Sie haben die Durchschnittsrendite von $50$ Aktien. Die am besten aussehenden sind teils gut und teils Glückspilze. Ein hierarchisches Modell sagt, alle wahren Mittel $\theta_i$ stammen aus einer gemeinsamen Population, $\theta_i\sim N(\mu,\tau^{2})$, und jeder beobachtete Durchschnitt $y_i$ ist das wahre Mittel plus Rauschen mit Standardfehler $s_i$. Die eigenen Daten der Aktie werden dann mit der Gruppe kombiniert: Die Schätzung wird zum Gruppenmittel $\mu$ gezogen. Dieser Zug heißt Shrinkage.

Der Shrinkage-Faktor $B_i$ ist der Gewichtsanteil der Gruppe. Eine verrauschte Aktie (großes $s_i$) hat $B_i$ nahe $1$ und wird stark zum Gruppenmittel gezogen. Eine genau gemessene Aktie (kleines $s_i$) behält fast ihren eigenen Wert. Kennt man $\tau^{2}$ nicht, schätzt man es aus der Streuung: Die Varianz der $y_i$ über die Aktien ist $\tau^{2}$ plus der Durchschnitt der $s_i^{2}$. Also ist $\tau^{2}$ diese Varianz minus das mittlere Rauschen, nie unter $0$. Ist die Streuung nicht größer, als Rauschen allein erzeugen würde, gilt $\tau^{2}=0$, und alle Aktien teilen eine Schätzung.

• Hierarchisches Modell: Die wahren Mittel stammen aus einer gemeinsamen Population, die Daten jeder Aktie helfen also allen anderen.
• Shrinkage $B_i=s_i^{2}/(s_i^{2}+\tau^{2})$: Verrauschte Schätzungen bewegen sich stark, genaue kaum.
• Schätzung von $\tau^{2}$: Varianz über die Aktien minus mittleres Rauschen, nie unter $0$.

Lab: Was bewertet wird

• Der Shrinkage-Faktor15 Pkt.
• Das geschrumpfte Mittel von A15 Pkt.
• Das geschrumpfte Mittel von B10 Pkt.
• Die Posterior-Streuung von A10 Pkt.
• Tau-Quadrat schätzen15 Pkt.
• Wer am stärksten geschrumpft wird10 Pkt.
• Begriffe zuordnen10 Pkt.
• Warum Schrumpfen hilft15 Pkt.