层次模型与收缩

路线进度模块 3/3 · 主题 1/4

3.1 层次模型与收缩

—实验得分— / 100总 XP—连续天数—

让许多估计互相帮助

假设你有 $50$ 只股票的平均收益。看起来最好的那些，一部分是真的好，一部分只是运气好。层次模型认为所有真实均值 $\theta_i$ 都来自同一个总体， $\theta_i\sim N(\mu,\tau^{2})$ ，而观测到的平均值 $y_i$ 是真实均值加上标准误差为 $s_i$ 的噪声。于是这只股票自身的数据要与整个群体结合：估计被拉向群体均值 $\mu$ 。这种拉动叫作收缩。

B_i=\frac{s_i^{2}}{s_i^{2}+\tau^{2}},\qquad \hat\theta_i=B_i\,\mu+(1-B_i)\,y_i,\qquad \mathrm{sd}(\theta_i)=\left(\frac{1}{s_i^{2}}+\frac{1}{\tau^{2}}\right)^{-1/2}

(1)

收缩系数 $B_i$ 是分给群体的权重比例。噪声大的股票（ $s_i$ 大）的 $B_i$ 接近 $1$ ，被强烈拉向群体均值；测得很精确的股票（ $s_i$ 小）几乎保留自己的值。若不知道 $\tau^{2}$ ，可由离散程度来估计：各股票 $y_i$ 的方差等于 $\tau^{2}$ 加上 $s_i^{2}$ 的平均，所以 $\tau^{2}$ 就是该方差减去平均噪声，且不小于 $0$ 。若离散程度不超过噪声单独能产生的水平，则 $\tau^{2}=0$ ，所有股票共用一个估计。

平均相同的两只股票设群体

\mu=8\%

，

\tau=2\%

。股票 A 的

y=14\%

，

s=4\%

：

B=16/(16+4)=0.8

，估计为

0.8\times8+0.2\times14=9.2\%

，标准差

1/\sqrt{1/16+1/4}=1.79\%

。股票 B 的

y

同为

14\%

，但

s=1\%

很精确：

B=1/(1+4)=0.2

，估计为

0.2\times8+0.8\times14=12.8\%

。噪声大的几乎被完全拉回，精确的几乎不动。

层次模型：真实均值来自同一总体，所以每只股票的数据都帮助其他股票。
收缩 $B_i=s_i^{2}/(s_i^{2}+\tau^{2})$ ：噪声大的估计变动大，精确的几乎不变。
估计 $\tau^{2}$ ：股票间方差减去平均噪声，且不小于 $0$ 。

实验：评分内容

收缩系数15 分
A 的收缩均值15 分
B 的收缩均值10 分
A 的后验离散度10 分
估计 tau 平方15 分
谁被收缩得最多10 分
配对术语10 分
为什么收缩有帮助15 分

0/ 已答 8 题

1数值作答15 分未作答

股票 A 的标准误差为 $s=4\%$ ，群体离散度为 $\tau=2\%$ 。 $B=s^{2}/(s^{2}+\tau^{2})$ 是多少？

b =

允许误差:± 0.005

2数值作答15 分未作答

群体均值 $\mu=8\%$ ，股票 A 的平均为 $y=14\%$ 。当 $B=0.8$ 时，收缩均值 $B\mu+(1-B)y$ （百分数）是多少？保留两位小数。

m =

%允许误差:± 0.03

3数值作答10 分未作答

股票 B 的平均同样是 $y=14\%$ ，但标准误差只有 $s=1\%$ ，所以 $B=1/(1+4)=0.2$ 。它的收缩均值（百分数）是多少？保留两位小数。

m =

%允许误差:± 0.03

4数值作答10 分未作答

股票 A 真实均值的后验标准差 $\big(1/s^{2}+1/\tau^{2}\big)^{-1/2}$ （ $s=4$ 、 $\tau=2$ ，百分数）是多少？保留两位小数。

s =

%允许误差:± 0.02

5数值作答15 分未作答

在各股票之间，观测平均值的方差为 $30$ （百分数的平方）， $s_i^{2}$ 的平均为 $20$ 。 $\tau^{2}$ 的矩估计是多少？

t =

允许误差:± 0.01

6选择10 分未作答

哪只股票的平均被拉向群体均值的力度最大？

7配对10 分未作答

把每个符号与其含义配对。

为左侧每一项选择配对项。

\mu

\tau

s_i

B_i

8用文字解释15 分未作答

用一两句话解释：为什么把每只股票的平均值向群体平均拉近，通常比原始平均值更能预测其未来平均值。

评分依据:极端平均值的一部分是运气和噪声向平均拉近就去掉了这部分0 / 400 字

数学模式键盘或 LaTeX 输入第 1/8 题 · Ctrl ⏎ 检查

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B_i=\frac{s_i^{2}}{s_i^{2}+\tau^{2}},\qquad \hat\theta_i=B_i\,\mu+(1-B_i)\,y_i,\qquad \mathrm{sd}(\theta_i)=\left(\frac{1}{s_i^{2}}+\frac{1}{\tau^{2}}\right)^{-1/2}

(1)

平均相同的两只股票设群体

\mu=8\%

，

\tau=2\%

。股票 A 的

y=14\%

，

s=4\%

：

B=16/(16+4)=0.8

，估计为

0.8\times8+0.2\times14=9.2\%

，标准差

1/\sqrt{1/16+1/4}=1.79\%

。股票 B 的

y

同为

14\%

，但

s=1\%

很精确：

B=1/(1+4)=0.2

，估计为

0.2\times8+0.8\times14=12.8\%

。噪声大的几乎被完全拉回，精确的几乎不动。

层次模型：真实均值来自同一总体，所以每只股票的数据都帮助其他股票。
收缩 $B_i=s_i^{2}/(s_i^{2}+\tau^{2})$ ：噪声大的估计变动大，精确的几乎不变。
估计 $\tau^{2}$ ：股票间方差减去平均噪声，且不小于 $0$ 。

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A 的收缩均值15 分
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A 的后验离散度10 分
估计 tau 平方15 分
谁被收缩得最多10 分
配对术语10 分
为什么收缩有帮助15 分

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股票 A 的标准误差为 $s=4\%$ ，群体离散度为 $\tau=2\%$ 。 $B=s^{2}/(s^{2}+\tau^{2})$ 是多少？

b =

允许误差:± 0.005

2数值作答15 分未作答

群体均值 $\mu=8\%$ ，股票 A 的平均为 $y=14\%$ 。当 $B=0.8$ 时，收缩均值 $B\mu+(1-B)y$ （百分数）是多少？保留两位小数。

m =

%允许误差:± 0.03

3数值作答10 分未作答

股票 B 的平均同样是 $y=14\%$ ，但标准误差只有 $s=1\%$ ，所以 $B=1/(1+4)=0.2$ 。它的收缩均值（百分数）是多少？保留两位小数。

m =

%允许误差:± 0.03

4数值作答10 分未作答

股票 A 真实均值的后验标准差 $\big(1/s^{2}+1/\tau^{2}\big)^{-1/2}$ （ $s=4$ 、 $\tau=2$ ，百分数）是多少？保留两位小数。

s =

%允许误差:± 0.02

5数值作答15 分未作答

在各股票之间，观测平均值的方差为 $30$ （百分数的平方）， $s_i^{2}$ 的平均为 $20$ 。 $\tau^{2}$ 的矩估计是多少？

t =

允许误差:± 0.01

6选择10 分未作答

哪只股票的平均被拉向群体均值的力度最大？

7配对10 分未作答

把每个符号与其含义配对。

为左侧每一项选择配对项。

\mu

\tau

s_i

B_i

8用文字解释15 分未作答

用一两句话解释：为什么把每只股票的平均值向群体平均拉近，通常比原始平均值更能预测其未来平均值。

评分依据:极端平均值的一部分是运气和噪声向平均拉近就去掉了这部分0 / 400 字

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