النماذج الهرمية والانكماش

دع التقديرات الكثيرة تساعد بعضها

افترض أن لديك متوسط عائد $50$ سهمًا. الأسهم الأجمل مظهرًا جيدة جزئيًا ومحظوظة جزئيًا. يقول النموذج الهرمي إن كل المتوسطات الحقيقية $\theta_i$ تأتي من مجتمع واحد مشترك $\theta_i\sim N(\mu,\tau^{2})$ وإن كل متوسط مرصود $y_i$ هو المتوسط الحقيقي مضافًا إليه ضجيج بخطأ معياري $s_i$. فتُدمج بيانات السهم الخاصة بالمجموعة: يُسحب التقدير نحو متوسط المجموعة $\mu$. ويسمى هذا السحب الانكماش.

عامل الانكماش $B_i$ هو حصة الوزن المعطاة للمجموعة. السهم المشوش ($s_i$ كبيرة) يكون $B_i$ فيه قريبًا من $1$ ويُسحب بقوة إلى متوسط المجموعة. والسهم المقاس بدقة ($s_i$ صغيرة) يحتفظ تقريبًا بقيمته. وإن كنت لا تعرف $\tau^{2}$ فقدّره من الانتشار: تباين $y_i$ عبر الأسهم يساوي $\tau^{2}$ زائد متوسط $s_i^{2}$. فـ $\tau^{2}$ هو ذلك التباين ناقص متوسط الضجيج على ألا يقل عن $0$. وإن لم يزد الانتشار عمّا يولّده الضجيج وحده فإن $\tau^{2}=0$ وتتشارك كل الأسهم تقديرًا واحدًا.

• النموذج الهرمي: المتوسطات الحقيقية من مجتمع مشترك فتساعد بيانات كل سهم بقية الأسهم.
• الانكماش $B_i=s_i^{2}/(s_i^{2}+\tau^{2})$: التقديرات المشوشة تتحرك كثيرًا والدقيقة بالكاد.
• تقدير $\tau^{2}$: التباين عبر الأسهم ناقص متوسط الضجيج على ألا يقل عن $0$.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• عامل الانكماش15 نقطة
• المتوسط المنكمش للسهم A15 نقطة
• المتوسط المنكمش للسهم B10 نقطة
• الانتشار اللاحق للسهم A10 نقطة
• تقدير tau تربيع15 نقطة
• من ينكمش أكثر10 نقطة
• طابق المصطلحات10 نقطة
• لماذا يفيد الانكماش15 نقطة