Valores propios y vectores propios

Las direcciones que una matriz deja intactas

Una matriz cuadrada $A$ mueve la mayoría de los vectores tanto en longitud como en dirección. Unas pocas direcciones especiales solo se estiran: $A\mathbf v=\lambda\mathbf v$ con $\mathbf v\neq\mathbf 0$. Entonces $\mathbf v$ es un vector propio y el factor de estiramiento $\lambda$ su valor propio. Si $\lambda=2$ el vector se duplica, si $\lambda=-1$ se invierte, si $\lambda=0$ se anula. Todo lo que una matriz hace a sus vectores propios se reduce, pues, a un número.

Para hallar los valores propios, observe que $(A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf 0$ tiene solución no nula solo cuando $A-\lambda I$ es singular, así que $\det(A-\lambda I)=0$. Para una matriz $2\times2$ es $\lambda^2-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A=0$. Después, para cada raíz se resuelve $(A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf 0$ y se obtiene la dirección. Dos hechos permiten comprobaciones rápidas: los valores propios suman la traza y multiplican el determinante. Una matriz es singular exactamente cuando un valor propio es cero, y $A^k$ tiene valores propios $\lambda^k$ con los mismos vectores propios.

• Par propio: $A\mathbf v=\lambda\mathbf v$ con $\mathbf v\neq\mathbf 0$; la dirección de un vector propio no cambia y su longitud se multiplica por $\lambda$.
• Ecuación característica: $\det(A-\lambda I)=0$; en $2\times2$, $\lambda^2-\operatorname{tr}A\,\lambda+\det A=0$.
• Comprobaciones: los valores propios suman la traza y multiplican el determinante; $A^k$ tiene valores propios $\lambda^k$.

Lab: qué se califica

• Qué es un par propio15 pts
• El valor propio mayor20 pts
• Determinante a partir de los valores propios10 pts
• La ecuación característica15 pts
• Elevar una matriz al cuadrado15 pts
• El método en orden10 pts
• Por qué interesa a las finanzas15 pts