La iteración de la potencia

Hallar la dirección dominante multiplicando una y otra vez

Resolver un polinomio característico es inviable para una matriz de $1000\times1000$, y a menudo solo se quiere el par propio mayor, por ejemplo la primera componente principal. La iteración de la potencia lo encuentra con solo productos matriz-vector. Parta de cualquier vector $\mathbf x_0$ y repita $\mathbf x_{k+1}=A\mathbf x_k/\lVert A\mathbf x_k\rVert$. Cada multiplicación estira la componente a lo largo del vector propio dominante más que todas las demás, de modo que tras suficientes pasos el vector apunta en esa dirección.

Escribamos $\mathbf x_0=c_1\mathbf v_1+c_2\mathbf v_2+\cdots$ en vectores propios. Tras $k$ pasos los coeficientes se multiplican por $\lambda_i^k$, así que el cociente del segundo al primero es $(\lambda_2/\lambda_1)^k$. El método converge cuando $|\lambda_1|>|\lambda_2|$ y el vector inicial tiene alguna componente según $\mathbf v_1$, y la velocidad depende de $|\lambda_2/\lambda_1|$: valores propios próximos significan convergencia lenta. La normalización solo evita el desbordamiento; lo que importa es la dirección. La estimación del valor propio es el cociente de Rayleigh. Para el siguiente par se resta $\lambda_1\mathbf v_1\mathbf v_1^{T}$ de una matriz simétrica $A$ y se repite: es la deflación.

• Actualización: multiplicar por $A$, dividir por la norma y repetir; cada paso cuesta un producto matriz-vector.
• Velocidad: el error cae como $|\lambda_2/\lambda_1|^k$, así que valores propios mayores cercanos convergen despacio.
• Requisitos: una brecha $|\lambda_1|>|\lambda_2|$ y un vector inicial no ortogonal a $\mathbf v_1$.

Lab: qué se califica

• A qué converge15 pts
• Un cociente de Rayleigh20 pts
• La razón de convergencia10 pts
• Cuántas iteraciones15 pts
• El algoritmo en orden15 pts
• Cuándo es lenta o falla15 pts
• Por qué normalizar10 pts