El teorema espectral

Por qué las matrices simétricas son las agradables

Una matriz general puede tener valores propios complejos y vectores propios no perpendiculares. Una matriz real simétrica, $A=A^{T}$, no. El teorema espectral dice que tal $A$ solo tiene valores propios reales, que los vectores propios de valores propios distintos son ortogonales y que se puede elegir una base ortonormal de vectores propios. Al reunirlos como columnas de $Q$ se obtiene $A=Q\Lambda Q^{T}$ con $Q^{T}Q=I$ y $\Lambda$ diagonal. Toda matriz de covarianza es simétrica, así que este teorema es la razón por la que el ACP funciona.

La forma en suma escribe $A$ como un apilamiento de piezas simples de rango uno, cada una estirando una dirección ortogonal. Hace triviales las potencias: $A^{k}=Q\Lambda^{k}Q^{T}$, y cualquier función de $A$ actúa solo sobre los valores propios. Una matriz simétrica es semidefinida positiva, $\mathbf w^{T}A\mathbf w\ge0$ para todo $\mathbf w$, exactamente cuando todos sus valores propios son no negativos, y definida positiva cuando son todos estrictamente positivos. Para una matriz de covarianza $\Sigma$ la forma cuadrática $\mathbf w^{T}\Sigma\mathbf w$ es la varianza de la cartera con pesos $\mathbf w$, de modo que nunca puede ser negativa y es al menos $\lambda_{\min}$ veces la longitud al cuadrado de $\mathbf w$.

• Teorema espectral: una matriz real simétrica $A$ tiene valores propios reales y vectores propios ortonormales, $A=Q\Lambda Q^{T}$.
• Signo: semidefinida positiva significa todos los valores propios $\ge0$, definida positiva todos $>0$.
• Potencias y funciones: $A^{k}=Q\Lambda^{k}Q^{T}$; se aplica cualquier función solo a los valores propios.

Lab: qué se califica

• Hechos sobre las matrices simétricas15 pts
• El valor propio mayor15 pts
• Un vector propio unitario10 pts
• Una potencia mediante la descomposición propia20 pts
• Una matriz de covarianza válida15 pts
• Un suelo para la varianza de una cartera15 pts
• Por qué funciona el ACP10 pts