O teorema espectral

Por que as matrizes simétricas são as boas

Uma matriz geral pode ter autovalores complexos e autovetores não perpendiculares. Uma matriz real simétrica, $A=A^{T}$, não. O teorema espectral diz que tal $A$ só tem autovalores reais, que autovetores de autovalores distintos são ortogonais e que se pode escolher uma base ortonormal de autovetores. Reunindo-os como colunas de $Q$ obtém-se $A=Q\Lambda Q^{T}$ com $Q^{T}Q=I$ e $\Lambda$ diagonal. Toda matriz de covariância é simétrica, então esse teorema é a razão pela qual o PCA funciona.

A forma em soma escreve $A$ como um empilhamento de peças simples de posto um, cada uma esticando uma direção ortogonal. Ela torna as potências triviais: $A^{k}=Q\Lambda^{k}Q^{T}$, e qualquer função de $A$ atua apenas sobre os autovalores. Uma matriz simétrica é semidefinida positiva, $\mathbf w^{T}A\mathbf w\ge0$ para todo $\mathbf w$, exatamente quando todos os seus autovalores são não negativos, e definida positiva quando são todos estritamente positivos. Para uma matriz de covariância $\Sigma$, a forma quadrática $\mathbf w^{T}\Sigma\mathbf w$ é a variância da carteira com pesos $\mathbf w$, portanto nunca pode ser negativa e é pelo menos $\lambda_{\min}$ vezes o comprimento ao quadrado de $\mathbf w$.

• Teorema espectral: uma matriz real simétrica $A$ tem autovalores reais e autovetores ortonormais, $A=Q\Lambda Q^{T}$.
• Sinal: semidefinida positiva significa todos os autovalores $\ge0$, definida positiva todos $>0$.
• Potências e funções: $A^{k}=Q\Lambda^{k}Q^{T}$; aplica-se qualquer função apenas aos autovalores.

Lab: o que é avaliado

• Fatos sobre matrizes simétricas15 pts
• O maior autovalor15 pts
• Um autovetor unitário10 pts
• Uma potência pela decomposição própria20 pts
• Uma matriz de covariância válida15 pts
• Um piso para a variância de uma carteira15 pts
• Por que o PCA funciona10 pts