النظرية الطيفية

لماذا المصفوفات المتماثلة هي الألطف

قد تكون لمصفوفة عامة قيم ذاتية عقدية ومتجهات ذاتية غير متعامدة. أما المصفوفة الحقيقية المتماثلة $A=A^{T}$ فلا. تنص النظرية الطيفية على أن لمثل هذه $A$ قيمًا ذاتية حقيقية فقط، وأن المتجهات الذاتية للقيم المختلفة متعامدة، وأنه يمكن اختيار أساس متعامد معياري من المتجهات الذاتية. وبجمعها أعمدةً في $Q$ نحصل على $A=Q\Lambda Q^{T}$ مع $Q^{T}Q=I$ و $\Lambda$ قطرية. وكل مصفوفة تباين مشترك متماثلة، ولذلك تعمل نظرية المكونات الرئيسية بفضل هذه النظرية.

A=A^{T}\;\Longrightarrow\;A=Q\Lambda Q^{T}=\sum_i\lambda_i\,\mathbf q_i\mathbf q_i^{T},\qquad A^{k}=Q\Lambda^{k}Q^{T},\qquad \mathbf w^{T}A\mathbf w\ge\lambda_{\min}\lVert\mathbf w\rVert^{2}

(1)

تكتب صيغة المجموع $A$ كتكديس لقطع بسيطة من الرتبة واحد تمدّ كل منها اتجاهًا متعامدًا. وتجعل القوى بسيطة: $A^{k}=Q\Lambda^{k}Q^{T}$ ، وأي دالة في $A$ تؤثر في القيم الذاتية فحسب. والمصفوفة المتماثلة شبه معرّفة موجبة، $\mathbf w^{T}A\mathbf w\ge0$ لكل $\mathbf w$ ، تمامًا حين تكون كل قيمها الذاتية غير سالبة، ومعرّفة موجبة حين تكون كلها موجبة تمامًا. وفي مصفوفة التباين المشترك $\Sigma$ تكون الصيغة التربيعية $\mathbf w^{T}\Sigma\mathbf w$ تباين المحفظة بالأوزان $\mathbf w$ فلا تكون سالبة أبدًا وتساوي على الأقل $\lambda_{\min}$ مضروبة في مربع طول $\mathbf w$ .

تقطير مصفوفة 2 في 2لتكن

A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}

. قيمتاها الذاتيتان 3 و1 ومتجهاهما

(1,1)

(1,-1)

وجداؤهما القياسي

1-1=0

أي متعامدان. بعد التطبيع يكونان عمودي

Q=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}

والمدخل الأول في كل منهما

1/\sqrt2\approx0.707

. فيكون

A^{3}=Q\,\mathrm{diag}(27,1)\,Q^{T}=\frac12\begin{pmatrix}28&26\\26&28\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14&13\\13&14\end{pmatrix}

من دون ضرب

A

ثلاث مرات. القيمتان موجبتان فالمصفوفة معرّفة موجبة ويمكن أن تكون مصفوفة تباين مشترك.

النظرية الطيفية: للمصفوفة الحقيقية المتماثلة $A$ قيم ذاتية حقيقية ومتجهات ذاتية متعامدة معيارية، $A=Q\Lambda Q^{T}$ .
الإشارة: شبه المعرّفة الموجبة تعني كل القيم الذاتية $\ge0$ والمعرّفة الموجبة كلها $>0$ .
القوى والدوال: $A^{k}=Q\Lambda^{k}Q^{T}$ ؛ وتُطبَّق أي دالة على القيم الذاتية فقط.

على مصفوفة التباين المشترك أن تجتاز هذا الاختبارقد تكون مصفوفة جُمعت يدويًا أو من تقديرات زوجية على عينات مختلفة متماثلة ومع ذلك لها قيمة ذاتية سالبة. فتدّعي حينها أن لمحفظة ما تباينًا سالبًا، وسيستغل المُحسِّن ذلك بسرور. والتحقق من أن أصغر قيمة ذاتية لمصفوفة متماثلة غير سالبة (مع تسامح صغير للتقريب) هو الاختبار المعتاد، وقصّ القيم الذاتية السالبة هو الإصلاح المعتاد.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

حقائق عن المصفوفات المتماثلة15 نقطة
القيمة الذاتية الكبرى15 نقطة
متجه ذاتي وحدوي10 نقطة
قوة عبر التحليل الذاتي20 نقطة
مصفوفة تباين مشترك صالحة15 نقطة
حدّ أدنى لتباين المحفظة15 نقطة
لماذا يعمل تحليل المكونات الرئيسية10 نقطة

لماذا المصفوفات المتماثلة هي الألطف

A=A^{T}\;\Longrightarrow\;A=Q\Lambda Q^{T}=\sum_i\lambda_i\,\mathbf q_i\mathbf q_i^{T},\qquad A^{k}=Q\Lambda^{k}Q^{T},\qquad \mathbf w^{T}A\mathbf w\ge\lambda_{\min}\lVert\mathbf w\rVert^{2}

(1)

تقطير مصفوفة 2 في 2لتكن

A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}

. قيمتاها الذاتيتان 3 و1 ومتجهاهما

(1,1)

(1,-1)

وجداؤهما القياسي

1-1=0

أي متعامدان. بعد التطبيع يكونان عمودي

Q=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}

والمدخل الأول في كل منهما

1/\sqrt2\approx0.707

. فيكون

A^{3}=Q\,\mathrm{diag}(27,1)\,Q^{T}=\frac12\begin{pmatrix}28&26\\26&28\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14&13\\13&14\end{pmatrix}

من دون ضرب

A

ثلاث مرات. القيمتان موجبتان فالمصفوفة معرّفة موجبة ويمكن أن تكون مصفوفة تباين مشترك.

النظرية الطيفية: للمصفوفة الحقيقية المتماثلة $A$ قيم ذاتية حقيقية ومتجهات ذاتية متعامدة معيارية، $A=Q\Lambda Q^{T}$ .
الإشارة: شبه المعرّفة الموجبة تعني كل القيم الذاتية $\ge0$ والمعرّفة الموجبة كلها $>0$ .
القوى والدوال: $A^{k}=Q\Lambda^{k}Q^{T}$ ؛ وتُطبَّق أي دالة على القيم الذاتية فقط.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

حقائق عن المصفوفات المتماثلة15 نقطة
القيمة الذاتية الكبرى15 نقطة
متجه ذاتي وحدوي10 نقطة
قوة عبر التحليل الذاتي20 نقطة
مصفوفة تباين مشترك صالحة15 نقطة
حدّ أدنى لتباين المحفظة15 نقطة
لماذا يعمل تحليل المكونات الرئيسية10 نقطة

لماذا المصفوفات المتماثلة هي الألطف

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.

النظرية الطيفية

لماذا المصفوفات المتماثلة هي الألطف

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.