التحليل إلى القيم المفردة

كل مصفوفة دوران ثم تمدد ثم دوران

يتطلب التحليل الذاتي مصفوفة مربعة وقد يفشل حتى حينها. أما التحليل إلى القيم المفردة فيصلح لكل مصفوفة، مستطيلة أو لا: $A=U\Sigma V^{T}$ مع $U$ و$V$ متعامدتين و$\Sigma$ قطرية عناصرها غير سالبة $\sigma_1\ge\sigma_2\ge\cdots\ge0$ هي القيم المفردة. هندسيًا تدور $A$ أولًا بـ $V^{T}$ ثم تمدّ كل محور $i$ بالعامل $\sigma_i$ ثم تدور بـ $U$. فتصبح دائرة الوحدة إهليلجًا أنصاف محاوره هي القيم المفردة.

أعمدة $V$ هي المتجهات الذاتية لـ $A^{T}A$ وأعمدة $U$ هي المتجهات الذاتية لـ $AA^{T}$ بقيم ذاتية $\sigma_i^2$. فالتحليل إلى القيم المفردة هو النظرية الطيفية مطبَّقة على $A^{T}A$ لكنه يُحسب دون تكوين هذا الجداء أبدًا، فتكوينه يربّع عدد الشرطية ويفقد نصف الأرقام. وقراءة الحقائق سهلة: الرتبة هي عدد القيم المفردة غير الصفرية، و$\lVert A\rVert_2=\sigma_1$ أكبر تمدد، ومربع نظيم فروبينيوس مجموع مربعات القيم المفردة، و$|\det A|=\prod\sigma_i$ لمصفوفة مربعة، وعدد الشرطية $\sigma_1/\sigma_{\min}$ يقيس مقدار تضخيم $A$ للأخطاء. ولمصفوفة بيانات $m\times n$ مع $m\ge n$ تكون $U$ الكاملة $m\times m$ و$\Sigma$ هي $m\times n$ و$V$ هي $n\times n$.

• SVD: كل مصفوفة تساوي $U\Sigma V^{T}$ بـ $U$ و$V$ متعامدتين وقيم مفردة غير سالبة مرتبة.
• حقائق: الرتبة هي عدد $\sigma_i$ غير الصفرية، و$\lVert A\rVert_F^2=\sum\sigma_i^2$، و$|\det A|=\prod\sigma_i$.
• عدد الشرطية: $\sigma_1/\sigma_{\min}$؛ والقيمة الكبيرة تعني حلولًا غير مستقرة ومعكوسات غير موثوقة.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• أكبر قيمة مفردة20 نقطة
• متطابقة فروبينيوس10 نقطة
• جداء القيم المفردة10 نقطة
• أبعاد SVD كاملة15 نقطة
• القيم المفردة والقيم الذاتية15 نقطة
• عدد الشرطية15 نقطة
• لماذا لا نحلّل AᵀA ذاتيًا15 نقطة