Descomposición en valores singulares

Toda matriz es una rotación, un estiramiento y una rotación

La descomposición en valores propios necesita una matriz cuadrada y aun así puede fallar. La descomposición en valores singulares sirve para toda matriz, rectangular o no: $A=U\Sigma V^{T}$ con $U$ y $V$ ortogonales y $\Sigma$ diagonal con entradas no negativas $\sigma_1\ge\sigma_2\ge\cdots\ge0$, los valores singulares. Geométricamente $A$ primero gira con $V^{T}$, luego estira cada eje $i$ por $\sigma_i$ y después gira con $U$. Una circunferencia unidad se convierte en una elipse cuyos semiejes son los valores singulares.

Las columnas de $V$ son los vectores propios de $A^{T}A$ y las de $U$ los de $AA^{T}$, con valores propios $\sigma_i^2$. Así, la SVD es el teorema espectral aplicado a $A^{T}A$, pero calculada sin formar nunca ese producto, que elevaría al cuadrado el número de condición y perdería la mitad de las cifras. Leer los hechos es fácil: el rango es el número de valores singulares no nulos, $\lVert A\rVert_2=\sigma_1$ es el mayor estiramiento, la norma de Frobenius al cuadrado es la suma de los cuadrados de los valores singulares, $|\det A|=\prod\sigma_i$ para una matriz cuadrada, y el número de condición $\sigma_1/\sigma_{\min}$ mide cuánto puede amplificar $A$ los errores. Para una matriz de datos $m\times n$ con $m\ge n$, la $U$ completa es $m\times m$, $\Sigma$ es $m\times n$ y $V$ es $n\times n$.

• SVD: toda matriz es $U\Sigma V^{T}$ con $U$, $V$ ortogonales y valores singulares no negativos ordenados.
• Hechos: el rango es el número de $\sigma_i$ no nulos, $\lVert A\rVert_F^2=\sum\sigma_i^2$, $|\det A|=\prod\sigma_i$.
• Número de condición: $\sigma_1/\sigma_{\min}$; un valor grande implica resoluciones inestables e inversas poco fiables.

Lab: qué se califica

• El mayor valor singular20 pts
• La identidad de Frobenius10 pts
• El producto de los valores singulares10 pts
• Dimensiones de una SVD completa15 pts
• Valores singulares y valores propios15 pts
• Un número de condición15 pts
• Por qué no descomponer AᵀA15 pts