La SVD escribe una matriz como suma de capas de rango uno, A=∑iσiuiviT, de la mayor a la menor. Conservar solo las k primeras capas da Ak=UkΣkVkT, una matriz de rango k. El teorema de Eckart-Young dice que este truncamiento es la mejor aproximación de rango k que existe, ya se mida el error con la norma de Frobenius o con la norma espectral. Ninguna elección ingeniosa de k direcciones supera a las k primeras direcciones singulares.
El error son exactamente los valores singulares descartados, así que la parte del tamaño al cuadrado que se conserva es ∑i≤kσi2/∑iσi2, a menudo llamada varianza explicada cuando A son datos centrados. Una aproximación de rango k de una matriz m×n solo necesita k(m+n+1) números en lugar de mn, por lo que el rango bajo también es compresión. En finanzas, las capas con σi pequeño son sobre todo ruido muestral, así que truncarlas es depurar, y k se elige por un umbral sobre la parte conservada o por un salto en los valores singulares.
Valores singulares 10, 6, 3, 1Supongamos que una matriz tiene valores singulares 10, 6, 3, 1. Sus cuadrados son 100, 36, 9, 1, que suman 146. La mejor aproximación de rango 2 conserva 100+36=136 de 146, es decir el 93,2%, y su error de Frobenius es 9+1=10≈3,16; su error espectral es σ3=3. La mejor aproximación de rango 1 tiene error espectral σ2=6. Para una matriz de 1000×250, el rango 5 necesita 5×(1000+250+1)=6255 números en lugar de 250 000.
Eckart-Young: truncar la SVD a k términos es la mejor aproximación de rango k en ambas normas.
Error: Frobenius ∑i>kσi2, espectral σk+1.
Almacenamiento: k(m+n+1) números en lugar de mn.
Elegir k es un juicioNinguna regla está libre de supuestos. Una parte fija como el 90% es simple pero arbitraria, un salto visible en los valores singulares es natural cuando existe, y en el marco de la covarianza más adelante en esta habilidad, el borde de Marchenko-Pastur da un umbral fundamentado entre señal y ruido. Use lo que use, compruebe la elección fuera de muestra: el rango que mejor explica los datos de entrenamiento no es el que mejor predice los nuevos.
Lab: qué se califica
El error de Frobenius15 pts
La parte conservada15 pts
Una aproximación de rango uno15 pts
Almacenamiento de una matriz de rango bajo10 pts
El teorema de Eckart-Young15 pts
Comprimir una matriz15 pts
Por qué el truncamiento depura15 pts
0/ 7 respondidos
1Respuesta numérica15 ptsSin responder
Una matriz tiene valores singulares 10, 6, 3 y 1. ¿Cuál es el error de Frobenius de su mejor aproximación de rango 2? Dé dos decimales.
error=aceptado: ± 0.02
2Respuesta numérica15 ptsSin responder
Para la misma matriz, ¿qué porcentaje de la norma de Frobenius al cuadrado conserva la aproximación de rango 2? Dé un decimal.
kept=aceptado: ± 0.1
3Matriz · vector15 ptsSin responder
La matriz simétrica A=(2112) tiene valores singulares 3 y 1, con dirección dominante u=v=(1,1)/2. Calcule su mejor aproximación de rango uno A1=3uvT.
A1=
4Respuesta numérica10 ptsSin responder
Una matriz de 1000×250 se aproxima con rango 5 mediante Uk, Σk y Vk. ¿Cuántos números hay que guardar, con k(m+n+1)?
numbers=aceptado: ± 0.5
5Elección15 ptsSin responder
¿Qué enuncia el teorema de Eckart-Young?
6Ordenar los pasos15 ptsSin responder
Ponga en orden los pasos de una aproximación de rango bajo.
Arrastra para reordenar, o enfoca un elemento, pulsa Espacio para levantarlo, las flechas para moverlo y Espacio para soltarlo.
1Medir el error o la parte de varianza conservada
2Elegir k según los valores singulares
3Calcular la SVD de la matriz
4Reconstruir Ak=UkΣkVkT con los k primeros términos
7Explicar con palabras15 ptsSin responder
En una o dos frases, diga por qué descartar los valores singulares pequeños de una matriz de rendimientos puede eliminar ruido.
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