保留矩阵中重要的部分 SVD 把矩阵写成一层层秩一矩阵之和 A = ∑ i σ i u i v i T A=\sum_i\sigma_i\mathbf u_i\mathbf v_i^{T} A = ∑ i σ i u i v i T k k k A k = U k Σ k V k T A_k=U_k\Sigma_kV_k^{T} A k = U k Σ k V k T k k k k k k k k k k k k
A k = ∑ i = 1 k σ i u i v i T , ∥ A − A k ∥ F = ∑ i > k σ i 2 , ∥ A − A k ∥ 2 = σ k + 1 A_k=\sum_{i=1}^{k}\sigma_i\mathbf u_i\mathbf v_i^{T},\qquad \lVert A-A_k\rVert_F=\sqrt{\sum_{i>k}\sigma_i^{2}},\qquad \lVert A-A_k\rVert_2=\sigma_{k+1} A k = i = 1 ∑ k σ i u i v i T , ∥ A − A k ∥ F = i > k ∑ σ i 2 , ∥ A − A k ∥ 2 = σ k + 1 (1) 误差恰好就是被舍去的奇异值，所以保留的平方大小占比为 ∑ i ≤ k σ i 2 / ∑ i σ i 2 \sum_{i\le k}\sigma_i^2\big/\sum_i\sigma_i^2 ∑ i ≤ k σ i 2 / ∑ i σ i 2 A A A m × n m\times n m × n k k k k ( m + n + 1 ) k(m+n+1) k ( m + n + 1 ) m n mn mn σ i \sigma_i σ i k k k
奇异值为 10、6、3、1 设矩阵的奇异值为 10、6、3、1，平方为 100、36、9、1，和为 146。最佳秩 2 逼近保留 146 中的
100 + 36 = 136 100+36=136 100 + 36 = 136 ，占
93.2 % 93.2\% 93.2% ，Frobenius 误差为
9 + 1 = 10 ≈ 3.16 \sqrt{9+1}=\sqrt{10}\approx3.16 9 + 1 = 10 ≈ 3.16 ，谱误差为
σ 3 = 3 \sigma_3=3 σ 3 = 3 。最佳秩 1 逼近的谱误差是
σ 2 = 6 \sigma_2=6 σ 2 = 6 。对
1000 × 250 1000\times250 1000 × 250 的矩阵，秩 5 只需
5 × ( 1000 + 250 + 1 ) = 6255 5\times(1000+250+1)=6255 5 × ( 1000 + 250 + 1 ) = 6255 个数，而不是 250000 个。
Eckart-Young ：把 SVD 截断到 k k k k k k 误差 ：Frobenius 为 ∑ i > k σ i 2 \sqrt{\sum_{i>k}\sigma_i^2} ∑ i > k σ i 2 σ k + 1 \sigma_{k+1} σ k + 1 存储 ：k ( m + n + 1 ) k(m+n+1) k ( m + n + 1 ) m n mn mn 选择 k 需要判断 没有哪条规则不依赖假设。像 90 % 90\% 90% 实验：评分内容 Frobenius 误差 15 分 保留的占比 15 分 秩一逼近 15 分 低秩矩阵的存储量 10 分 Eckart-Young 定理 15 分 压缩矩阵 15 分 为什么截断能去噪 15 分 
