为什么对称矩阵最好用 一般矩阵可能有复特征值，特征向量也不一定垂直，而实对称矩阵 A = A T A=A^{T} A = A T A A A Q Q Q A = Q Λ Q T A=Q\Lambda Q^{T} A = Q Λ Q T Q T Q = I Q^{T}Q=I Q T Q = I Λ \Lambda Λ
A = A T ⟹ A = Q Λ Q T = ∑ i λ i q i q i T , A k = Q Λ k Q T , w T A w ≥ λ min ∥ w ∥ 2 A=A^{T}\;\Longrightarrow\;A=Q\Lambda Q^{T}=\sum_i\lambda_i\,\mathbf q_i\mathbf q_i^{T},\qquad A^{k}=Q\Lambda^{k}Q^{T},\qquad \mathbf w^{T}A\mathbf w\ge\lambda_{\min}\lVert\mathbf w\rVert^{2} A = A T ⟹ A = Q Λ Q T = i ∑ λ i q i q i T , A k = Q Λ k Q T , w T A w ≥ λ m i n ∥ w ∥ 2 (1) 和的形式把 A A A A k = Q Λ k Q T A^{k}=Q\Lambda^{k}Q^{T} A k = Q Λ k Q T A A A w \mathbf w w w T A w ≥ 0 \mathbf w^{T}A\mathbf w\ge0 w T A w ≥ 0 Σ \Sigma Σ w T Σ w \mathbf w^{T}\Sigma\mathbf w w T Σ w w \mathbf w w λ min \lambda_{\min} λ m i n w \mathbf w w
对 2×2 矩阵做对角化 取
A = ( 2 1 1 2 ) A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix} A = ( 2 1 1 2 ) 。其特征值为 3 和 1，特征向量为
( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) 和
( 1 , − 1 ) (1,-1) ( 1 , − 1 ) ，点积为
1 − 1 = 0 1-1=0 1 − 1 = 0 ，所以二者正交。归一化后它们是
Q = 1 2 ( 1 1 1 − 1 ) Q=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} Q = 2 1 ( 1 1 1 − 1 ) 的列，各自的第一个分量都是
1 / 2 ≈ 0.707 1/\sqrt2\approx0.707 1/ 2 ≈ 0.707 。于是
A 3 = Q d i a g ( 27 , 1 ) Q T = 1 2 ( 28 26 26 28 ) = ( 14 13 13 14 ) A^{3}=Q\,\mathrm{diag}(27,1)\,Q^{T}=\frac12\begin{pmatrix}28&26\\26&28\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14&13\\13&14\end{pmatrix} A 3 = Q diag ( 27 , 1 ) Q T = 2 1 ( 28 26 26 28 ) = ( 14 13 13 14 ) ，无需把
A A A 乘三次。两个特征值都为正，所以
A A A 正定，可以是协方差矩阵。
谱定理 ：实对称矩阵 A A A A = Q Λ Q T A=Q\Lambda Q^{T} A = Q Λ Q T 定性 ：半正定指所有特征值 ≥ 0 \ge0 ≥ 0 > 0 >0 > 0 幂与函数 ：A k = Q Λ k Q T A^{k}=Q\Lambda^{k}Q^{T} A k = Q Λ k Q T 协方差矩阵必须通过这个检验 手工拼装或由不同样本上的两两估计拼成的矩阵，可能是对称的却仍有负特征值。这就等于声称某个组合的方差为负，而优化器会乐于利用这一点。检查对称矩阵的最小特征值是否非负（对舍入留一点容差）是标准检验，截掉负特征值是标准修复。
实验：评分内容 关于对称矩阵的事实 15 分 较大的特征值 15 分 单位特征向量 10 分 通过特征分解求幂 20 分 有效的协方差矩阵 15 分 组合方差的下界 15 分 为什么主成分分析可行 10 分 
