Der Spektralsatz

Warum symmetrische Matrizen die angenehmen sind

Eine allgemeine Matrix kann komplexe Eigenwerte und nicht senkrechte Eigenvektoren haben. Eine reelle symmetrische Matrix, $A=A^{T}$, nicht. Der Spektralsatz besagt, dass ein solches $A$ nur reelle Eigenwerte hat, dass Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind und dass man eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren wählen kann. Als Spalten von $Q$ gesammelt ergibt sich $A=Q\Lambda Q^{T}$ mit $Q^{T}Q=I$ und diagonalem $\Lambda$. Jede Kovarianzmatrix ist symmetrisch, deshalb funktioniert die PCA.

Die Summenform schreibt $A$ als Stapel einfacher Rang-eins-Stücke, die jeweils eine orthogonale Richtung strecken. Sie macht Potenzen trivial: $A^{k}=Q\Lambda^{k}Q^{T}$, und jede Funktion von $A$ wirkt nur auf die Eigenwerte. Eine symmetrische Matrix ist positiv semidefinit, $\mathbf w^{T}A\mathbf w\ge0$ für alle $\mathbf w$, genau dann, wenn alle Eigenwerte nichtnegativ sind, und positiv definit, wenn alle streng positiv sind. Bei einer Kovarianzmatrix $\Sigma$ ist die quadratische Form $\mathbf w^{T}\Sigma\mathbf w$ die Varianz des Portfolios mit Gewichten $\mathbf w$, also nie negativ, und mindestens $\lambda_{\min}$ mal das Längenquadrat von $\mathbf w$.

• Spektralsatz: Eine reelle symmetrische Matrix $A$ hat reelle Eigenwerte und orthonormale Eigenvektoren, $A=Q\Lambda Q^{T}$.
• Definitheit: positiv semidefinit heißt alle Eigenwerte $\ge0$, positiv definit alle $>0$.
• Potenzen und Funktionen: $A^{k}=Q\Lambda^{k}Q^{T}$; jede Funktion wirkt nur auf die Eigenwerte.

Lab: Was bewertet wird

• Fakten über symmetrische Matrizen15 Pkt.
• Der größere Eigenwert15 Pkt.
• Ein normierter Eigenvektor10 Pkt.
• Eine Potenz über die Eigenzerlegung20 Pkt.
• Eine gültige Kovarianzmatrix15 Pkt.
• Eine Untergrenze für die Portfoliovarianz15 Pkt.
• Warum die PCA funktioniert10 Pkt.