Autovalores e autovetores

As direções que uma matriz deixa intactas

Uma matriz quadrada $A$ move a maioria dos vetores em comprimento e em direção. Algumas direções especiais são apenas esticadas: $A\mathbf v=\lambda\mathbf v$ com $\mathbf v\neq\mathbf 0$ . Então $\mathbf v$ é um autovetor e o fator de esticamento $\lambda$ é seu autovalor. Se $\lambda=2$ o vetor dobra, se $\lambda=-1$ ele se inverte, se $\lambda=0$ ele colapsa em zero. Tudo o que uma matriz faz com seus autovetores se resume, portanto, a um número.

A\mathbf v=\lambda\mathbf v\iff\det(A-\lambda I)=0,\qquad \sum_i\lambda_i=\operatorname{tr}A,\qquad \prod_i\lambda_i=\det A

(1)

Para achar os autovalores, note que $(A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf 0$ tem solução não nula apenas quando $A-\lambda I$ é singular, logo $\det(A-\lambda I)=0$ . Para uma matriz $2\times2$ isso é $\lambda^2-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A=0$ . Depois, para cada raiz, resolve-se $(A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf 0$ para obter a direção. Dois fatos dão verificações rápidas: os autovalores somam o traço e multiplicam o determinante. Uma matriz é singular exatamente quando um autovalor é zero, e $A^k$ tem autovalores $\lambda^k$ com os mesmos autovetores.

Um exemplo 2 por 2Tome

A=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}

. Seu traço é 7 e seu determinante

12-2=10

, então

\lambda^2-7\lambda+10=0

(\lambda-5)(\lambda-2)=0

: os autovalores são 5 e 2. Para

\lambda=5

resolve-se

\begin{pmatrix}-1&1\\2&-2\end{pmatrix}\mathbf v=\mathbf 0

, que dá

\mathbf v=(1,1)

. Para

\lambda=2

resolve-se

\begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix}\mathbf v=\mathbf 0

, que dá

\mathbf v=(1,-2)

. Verificação:

A(1,1)=(5,5)=5\,(1,1)

. Os autovalores de

A^2

são

25

4

Par próprio: $A\mathbf v=\lambda\mathbf v$ com $\mathbf v\neq\mathbf 0$ ; a direção de um autovetor não muda e seu comprimento é multiplicado por $\lambda$ .
Equação característica: $\det(A-\lambda I)=0$ ; em $2\times2$ , $\lambda^2-\operatorname{tr}A\,\lambda+\det A=0$ .
Verificações: os autovalores somam o traço e multiplicam o determinante; $A^k$ tem autovalores $\lambda^k$ .

Por que isso importa a um quantOs autovetores de uma matriz de covariância são as direções independentes de risco de uma carteira de ativos, e os autovalores são as variâncias ao longo delas. Um autovalor grande é uma aposta de que muitos ativos se movem juntos; um minúsculo é uma combinação de ativos quase sem risco no papel. O resto desta habilidade se apoia nessa imagem: como achar os pares próprios de uma matriz grande, por que são reais nas matrizes de covariância e o que dá errado quando são estimados com poucos dados.

Lab: o que é avaliado

O que é um par próprio15 pts
O maior autovalor20 pts
Determinante a partir dos autovalores10 pts
A equação característica15 pts
Elevar uma matriz ao quadrado15 pts
O método em ordem10 pts
Por que as finanças se interessam15 pts

As direções que uma matriz deixa intactas

A\mathbf v=\lambda\mathbf v\iff\det(A-\lambda I)=0,\qquad \sum_i\lambda_i=\operatorname{tr}A,\qquad \prod_i\lambda_i=\det A

(1)

Um exemplo 2 por 2Tome

A=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}

. Seu traço é 7 e seu determinante

12-2=10

, então

\lambda^2-7\lambda+10=0

(\lambda-5)(\lambda-2)=0

: os autovalores são 5 e 2. Para

\lambda=5

resolve-se

\begin{pmatrix}-1&1\\2&-2\end{pmatrix}\mathbf v=\mathbf 0

, que dá

\mathbf v=(1,1)

. Para

\lambda=2

resolve-se

\begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix}\mathbf v=\mathbf 0

, que dá

\mathbf v=(1,-2)

. Verificação:

A(1,1)=(5,5)=5\,(1,1)

. Os autovalores de

A^2

são

25

4

Par próprio: $A\mathbf v=\lambda\mathbf v$ com $\mathbf v\neq\mathbf 0$ ; a direção de um autovetor não muda e seu comprimento é multiplicado por $\lambda$ .
Equação característica: $\det(A-\lambda I)=0$ ; em $2\times2$ , $\lambda^2-\operatorname{tr}A\,\lambda+\det A=0$ .
Verificações: os autovalores somam o traço e multiplicam o determinante; $A^k$ tem autovalores $\lambda^k$ .

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O maior autovalor20 pts
Determinante a partir dos autovalores10 pts
A equação característica15 pts
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O método em ordem10 pts
Por que as finanças se interessam15 pts

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