القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

الاتجاهات التي تتركها المصفوفة على حالها

تحرّك المصفوفة المربعة $A$ معظم المتجهات في الطول والاتجاه معًا. أما اتجاهات خاصة قليلة فتُمدَّد فقط: $A\mathbf v=\lambda\mathbf v$ مع $\mathbf v\neq\mathbf 0$. عندها يكون $\mathbf v$ متجهًا ذاتيًا ويكون معامل التمدد $\lambda$ قيمته الذاتية. إذا كان $\lambda=2$ تضاعف المتجه، وإذا كان $\lambda=-1$ انقلب، وإذا كان $\lambda=0$ انهار إلى الصفر. فكل ما تفعله المصفوفة بمتجهاتها الذاتية يختصر في عدد واحد.

لإيجاد القيم الذاتية لاحظ أن $(A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf 0$ لها حل غير صفري فقط حين تكون $A-\lambda I$ شاذة، أي $\det(A-\lambda I)=0$. وهذا في مصفوفة $2\times2$ هو $\lambda^2-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A=0$. ثم نحل لكل جذر $(A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf 0$ لنجد الاتجاه. وهناك حقيقتان للتحقق السريع: مجموع القيم الذاتية يساوي الأثر وحاصل ضربها يساوي المحدد. وتكون المصفوفة شاذة تمامًا حين تكون إحدى قيمها الذاتية صفرًا، وللمصفوفة $A^k$ القيم الذاتية $\lambda^k$ بالمتجهات الذاتية نفسها.

• زوج ذاتي: $A\mathbf v=\lambda\mathbf v$ مع $\mathbf v\neq\mathbf 0$؛ لا يتغير اتجاه المتجه الذاتي ويُضرب طوله في $\lambda$.
• المعادلة المميزة: $\det(A-\lambda I)=0$؛ وفي $2\times2$ هي $\lambda^2-\operatorname{tr}A\,\lambda+\det A=0$.
• تحققات: مجموع القيم الذاتية يساوي الأثر وحاصل ضربها يساوي المحدد؛ وللمصفوفة $A^k$ القيم الذاتية $\lambda^k$.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• ما هو الزوج الذاتي15 نقطة
• القيمة الذاتية الكبرى20 نقطة
• المحدد من القيم الذاتية10 نقطة
• المعادلة المميزة15 نقطة
• تربيع مصفوفة15 نقطة
• الطريقة بالترتيب10 نقطة
• لماذا تهتم المالية بها15 نقطة