Valeurs propres et vecteurs propres

Les directions qu'une matrice laisse intactes

Une matrice carrée $A$ déplace la plupart des vecteurs en longueur comme en direction. Quelques directions particulières sont seulement étirées : $A\mathbf v=\lambda\mathbf v$ avec $\mathbf v\neq\mathbf 0$. Alors $\mathbf v$ est un vecteur propre et le facteur d'étirement $\lambda$ sa valeur propre. Si $\lambda=2$, le vecteur double ; si $\lambda=-1$, il se retourne ; si $\lambda=0$, il s'effondre en zéro. Tout ce qu'une matrice fait à ses vecteurs propres se résume donc à un nombre.

Pour trouver les valeurs propres, notez que $(A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf 0$ a une solution non nulle seulement si $A-\lambda I$ est singulière, donc $\det(A-\lambda I)=0$. Pour une matrice $2\times2$, cela donne $\lambda^2-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A=0$. Pour chaque racine, résolvez ensuite $(A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf 0$ pour obtenir la direction. Deux faits donnent des vérifications rapides : les valeurs propres ont pour somme la trace et pour produit le déterminant. Une matrice est singulière exactement quand une valeur propre est nulle, et $A^k$ a pour valeurs propres $\lambda^k$ avec les mêmes vecteurs propres.

• Paire propre : $A\mathbf v=\lambda\mathbf v$ avec $\mathbf v\neq\mathbf 0$ ; la direction d'un vecteur propre est inchangée, sa longueur est multipliée par $\lambda$.
• Équation caractéristique : $\det(A-\lambda I)=0$ ; en $2\times2$, $\lambda^2-\operatorname{tr}A\,\lambda+\det A=0$.
• Vérifications : les valeurs propres ont pour somme la trace et pour produit le déterminant ; $A^k$ a pour valeurs propres $\lambda^k$.

Lab : ce qui est noté

• Ce qu'est une paire propre15 pts
• La plus grande valeur propre20 pts
• Déterminant à partir des valeurs propres10 pts
• L'équation caractéristique15 pts
• Élever une matrice au carré15 pts
• La méthode dans l'ordre10 pts
• Pourquoi la finance s'y intéresse15 pts