特征值与特征向量

矩阵不改变的方向

方阵 $A$ 会同时改变大多数向量的长度和方向。只有少数特殊方向只被拉伸：$A\mathbf v=\lambda\mathbf v$，$\mathbf v\neq\mathbf 0$。此时 $\mathbf v$ 是特征向量，拉伸倍数 $\lambda$ 是它的特征值。若 $\lambda=2$，向量变为两倍；若 $\lambda=-1$，向量反向；若 $\lambda=0$，向量塌缩为零。所以矩阵对其特征向量所做的一切就是一个数。

求特征值时注意：$(A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf 0$ 有非零解，当且仅当 $A-\lambda I$ 奇异，即 $\det(A-\lambda I)=0$。对 $2\times2$ 矩阵，这就是 $\lambda^2-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A=0$。然后对每个根解 $(A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf 0$ 得到方向。有两个快速校验：特征值之和等于迹，特征值之积等于行列式。矩阵奇异当且仅当有一个特征值为零，而 $A^k$ 的特征值是 $\lambda^k$，特征向量不变。

• 特征对：$A\mathbf v=\lambda\mathbf v$，$\mathbf v\neq\mathbf 0$；特征向量方向不变，长度乘以 $\lambda$。
• 特征方程：$\det(A-\lambda I)=0$；$2\times2$ 时为 $\lambda^2-\operatorname{tr}A\,\lambda+\det A=0$。
• 校验：特征值之和等于迹，之积等于行列式；$A^k$ 的特征值为 $\lambda^k$。

实验：评分内容

• 什么是特征对15 分
• 较大的特征值20 分
• 由特征值求行列式10 分
• 特征方程15 分
• 矩阵的平方15 分
• 方法的顺序10 分
• 金融为何关心15 分