Eigenwerte und Eigenvektoren

Richtungen, die eine Matrix unverändert lässt

Eine quadratische Matrix $A$ verändert die meisten Vektoren in Länge und Richtung. Einige besondere Richtungen werden nur gestreckt: $A\mathbf v=\lambda\mathbf v$ mit $\mathbf v\neq\mathbf 0$. Dann ist $\mathbf v$ ein Eigenvektor und der Streckfaktor $\lambda$ sein Eigenwert. Bei $\lambda=2$ verdoppelt sich der Vektor, bei $\lambda=-1$ kehrt er sich um, bei $\lambda=0$ fällt er auf null zusammen. Alles, was eine Matrix mit ihren Eigenvektoren macht, ist also eine einzige Zahl.

Um die Eigenwerte zu finden, beachten Sie, dass $(A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf 0$ nur dann eine Lösung ungleich null hat, wenn $A-\lambda I$ singulär ist, also $\det(A-\lambda I)=0$. Bei einer $2\times2$-Matrix lautet das $\lambda^2-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A=0$. Für jede Wurzel löst man dann $(A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf 0$ und erhält die Richtung. Zwei Fakten liefern schnelle Kontrollen: Die Eigenwerte summieren sich zur Spur und multiplizieren sich zur Determinante. Eine Matrix ist genau dann singulär, wenn ein Eigenwert null ist, und $A^k$ hat die Eigenwerte $\lambda^k$ mit denselben Eigenvektoren.

• Eigenpaar: $A\mathbf v=\lambda\mathbf v$ mit $\mathbf v\neq\mathbf 0$; die Richtung eines Eigenvektors bleibt, seine Länge wird mit $\lambda$ multipliziert.
• Charakteristische Gleichung: $\det(A-\lambda I)=0$; bei $2\times2$ gilt $\lambda^2-\operatorname{tr}A\,\lambda+\det A=0$.
• Kontrollen: Die Eigenwerte summieren sich zur Spur und multiplizieren sich zur Determinante; $A^k$ hat die Eigenwerte $\lambda^k$.

Lab: Was bewertet wird

• Was ein Eigenpaar ist15 Pkt.
• Der größere Eigenwert20 Pkt.
• Determinante aus den Eigenwerten10 Pkt.
• Die charakteristische Gleichung15 Pkt.
• Eine Matrix quadrieren15 Pkt.
• Die Methode in Reihenfolge10 Pkt.
• Warum die Finanzwelt sich dafür interessiert15 Pkt.