固有値と固有ベクトル

行列が向きを変えない方向

正方行列 $A$ はほとんどのベクトルの長さも向きも変えます。ごく少数の特別な方向だけは伸び縮みするだけです。$A\mathbf v=\lambda\mathbf v$（$\mathbf v\neq\mathbf 0$）。このとき $\mathbf v$ が固有ベクトル、伸びの倍率 $\lambda$ がその固有値です。$\lambda=2$ なら2倍、$\lambda=-1$ なら反転、$\lambda=0$ なら零に潰れます。つまり、行列が固有ベクトルに行うことは1つの数で表せます。

固有値を求めるには、$(A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf 0$ が零でない解を持つのは $A-\lambda I$ が特異のときだけなので $\det(A-\lambda I)=0$ とします。$2\times2$ では $\lambda^2-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A=0$ です。各根について $(A-\lambda I)\mathbf v=\mathbf 0$ を解くと方向が得られます。手早い検算が2つあります。固有値の和はトレース、積は行列式に等しいことです。行列が特異であることと固有値の1つが0であることは同値で、$A^k$ の固有値は同じ固有ベクトルで $\lambda^k$ になります。

• 固有対：$A\mathbf v=\lambda\mathbf v$（$\mathbf v\neq\mathbf 0$）。固有ベクトルの向きは変わらず、長さが $\lambda$ 倍になる。
• 特性方程式：$\det(A-\lambda I)=0$。$2\times2$ では $\lambda^2-\operatorname{tr}A\,\lambda+\det A=0$。
• 検算：固有値の和はトレース、積は行列式に等しい。$A^k$ の固有値は $\lambda^k$。

ラボ：採点される内容

• 固有対とは15点
• 大きい方の固有値20点
• 固有値から行列式10点
• 特性方程式15点
• 行列の2乗15点
• 手順の順序10点
• 金融で重要な理由15点