Strukturbrüche

Wenn sich die Regeln ändern

Ein Strukturbruch ist ein Zeitpunkt, nach dem sich die Parameter des Prozesses, Mittelwert, Varianz oder Regressionskoeffizienten, unterscheiden. Ursache kann eine Krise sein, eine Politikänderung, eine neue Marktstruktur wie die Dezimalisierung oder ein Indexwechsel einer Aktie. Über einen Bruch hinweg geschätzte Parameter sind der Durchschnitt zweier verschiedener Welten und beschreiben keine, daher sind darauf gebaute Prognosen verzerrt. Brüche täuschen auch andere Werkzeuge. Eine einmalige Verschiebung des Mittelwerts sieht wie eine Einheitswurzel aus, sodass der ADF-Test nicht verwirft (Perron). Eine Verschiebung des Varianzniveaus sieht in einem GARCH-Modell wie extreme Persistenz aus.

Ist das Bruchdatum bekannt, vergleicht der Chow-Test die Residuenquadratsumme einer Regression über alle Daten, $\mathrm{SSR}_p$, mit der getrennter Regressionen vor und nach dem Datum, $\mathrm{SSR}_1+\mathrm{SSR}_2$. Ein großer Rückgang spricht für einen Bruch, und die Statistik folgt einer $F$-Verteilung mit $k$ und $n-2k$ Freiheitsgraden, wobei $k$ die Parameterzahl ist. Meist ist das Datum unbekannt. Dann probiert man jedes Kandidatendatum, behält das mit der kleinsten kombinierten Residuenquadratsumme und nutzt das größte $F$ (sup-$F$- oder Quandt-Andrews-Test). Da das Datum zur Maximierung der Statistik gewählt wurde, sind gewöhnliche $F$-Werte viel zu niedrig, und es gelten spezielle. Die Ränder werden gekappt, oft um 15 %, weil ein Bruch nahe den Enden auf einer Seite zu wenige Beobachtungen lässt. Mehrere Brüche findet man mit der Bai-Perron-Methode. Der CUSUM-Test, der standardisierte Prognosefehler aufsummiert, zeigt den Moment an, in dem die Fehler nicht mehr wie Rauschen mit Mittelwert null aussehen, und eignet sich natürlich zur Überwachung eines Live-Modells.

• Bruch: Mittelwert, Varianz oder Koeffizienten ändern sich zu einem Datum; eine Anpassung über die ganze Stichprobe mittelt zwei Regime.
• Chow bei bekanntem Datum, sup-$F$ bei unbekanntem Datum, mit speziellen kritischen Werten und gekappten Rändern.
• CUSUM überwacht Prognosefehler in Echtzeit; eine Mittelwertverschiebung kann wie eine Einheitswurzel wirken.

Lab: Was bewertet wird

• Eine Chow-Statistik15 Pkt.
• Der Rückgang der quadrierten Fehler10 Pkt.
• Über einen Bruch hinweg mitteln15 Pkt.
• Die Ränder kappen10 Pkt.
• Eine Verschiebung, die wie eine Einheitswurzel aussieht15 Pkt.
• Begriffe zuordnen15 Pkt.
• Mit einem Bruch umgehen10 Pkt.
• Über einen Bruch hinweg schätzen10 Pkt.