Stichprobenverteilungen

Eine Statistik ist eine Zufallsvariable

Zieht man eine weitere Stichprobe, ändert sich der Mittelwert. Jede aus einer Stichprobe berechnete Zahl, eine Statistik, ist selbst zufällig, und ihre Verteilung über wiederholte Stichproben heißt Stichprobenverteilung. Das ist die Idee hinter jedem Fehlerbalken und jedem p-Wert: Sie beschreiben, wie eine Statistik schwanken würde, wenn die Datenerhebung wiederholt würde, nicht wie die Daten streuen.

Die Standardabweichung einer Stichprobenverteilung ist der Standardfehler. Für einen Mittelwert ist er $\sigma/\sqrt{n}$, geschätzt durch $s/\sqrt{n}$; für einen Anteil $\hat p$ ist er $\sqrt{p(1-p)/n}$. Muss $\sigma$ aus den Daten geschätzt werden, folgt der standardisierte Mittelwert einer Student-$t$-Verteilung mit $n-1$ Freiheitsgraden statt einer Normalverteilung, mit schwereren Rändern bei kleinem $n$ und Annäherung an die Normalverteilung für wachsendes $n$. Die $t$-Statistik misst, um wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert von einem hypothetischen Wert abweicht.

• Stichprobenverteilung: wie eine Statistik über wiederholte Stichproben schwankt.
• Standardfehler: die Standardabweichung der Stichprobenverteilung; sie schrumpft wie $1/\sqrt{n}$.
• $t$-Verteilung: für einen standardisierten Mittelwert bei geschätztem $\sigma$, mit $n-1$ Freiheitsgraden.

Lab: Was bewertet wird

• Der Standardfehler eines Mittelwerts10 Pkt.
• Der Standardfehler eines Anteils15 Pkt.
• Eine t-Statistik15 Pkt.
• Welche Verteilung15 Pkt.
• Fakten zu Stichprobenverteilungen15 Pkt.
• Wie viele Trades15 Pkt.
• Standardabweichung versus Standardfehler15 Pkt.