Konfidenzintervalle und Bootstrap

Wie präzise ist eine Schätzung

Eine Punktschätzung wie eine mittlere Rendite sagt nichts über ihre Verlässlichkeit. Ein Konfidenzintervall liefert sie: Für einen Mittelwert $\bar x\pm t^{*}\,s/\sqrt{n}$, wobei $t^{*}$ der kritische Wert der $t$-Verteilung mit $n-1$ Freiheitsgraden ist (etwa 2,06 für 95 % und $n=25$, gegen 1,96 für großes $n$). Für einen Anteil ist das Intervall $\hat p\pm1{,}96\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}$. Die Breite wird vom Standardfehler und vom Konfidenzniveau bestimmt und schrumpft nur wie $1/\sqrt{n}$.

Viele Statistiken haben keine einfache Standardfehlerformel: ein Median, eine Sharpe-Ratio, ein Drawdown, ein Verhältnis zweier Mittelwerte. Der Bootstrap umgeht das. Man zieht aus den beobachteten Daten mit Zurücklegen eine neue Stichprobe gleicher Größe, berechnet darauf die Statistik, wiederholt das tausendfach und liest das Intervall an den Perzentilen der Ergebnisse ab. Er behandelt die Stichprobe als Stellvertreter der Grundgesamtheit. Bei abhängigen Beobachtungen ist Vorsicht nötig (Blöcke aufeinanderfolgender Tage ziehen, nicht einzelne Tage), und eine winzige Stichprobe rettet er nicht.

• Konfidenzintervall für einen Mittelwert: Schätzung $\pm$ kritischer Wert $\times$ Standardfehler.
• Bootstrap: mit Zurücklegen ziehen, neu berechnen, wiederholen, Perzentile nehmen; keine Formel nötig.
• Abhängige Daten: Blöcke aufeinanderfolgender Tage ziehen, damit die Autokorrelation erhalten bleibt.

Lab: Was bewertet wird

• Ein Intervall für einen Mittelwert15 Pkt.
• Ein Intervall für einen Anteil15 Pkt.
• Die Schritte eines Bootstraps15 Pkt.
• Was 95 % bedeutet15 Pkt.
• Fakten zum Bootstrap15 Pkt.
• Das Perzentil ablesen10 Pkt.
• Warum der Bootstrap keine Formel braucht15 Pkt.