Deskriptive Statistik und robuste Schätzer

Eine unordentliche Stichprobe zusammenfassen

Die deskriptive Statistik verdichtet eine Stichprobe auf wenige Zahlen: wo sie liegt (Lage), wie weit sie streut (Skala) und welche Form sie hat. Die üblichen Zusammenfassungen sind der Mittelwert $\bar x=\frac1n\sum x_i$ und die Stichprobenstandardabweichung $s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum(x_i-\bar x)^2}$ , mit $n-1$ im Nenner, weil der Mittelwert bereits aus denselben Daten geschätzt wurde. Sie sind für saubere, glockenförmige Daten optimal und sonst fragil.

\operatorname{MAD}=\operatorname{median}_i\,|x_i-\operatorname{median}(x)|

(1)

Echte Renditedaten enthalten Ausreißer: einen Crash-Tag, einen falschen Kurs, eine Fusion. Ein einziger extremer Wert zieht den Mittelwert und bläht die Standardabweichung unbegrenzt auf, ihr Bruchpunkt ist null. Robuste Alternativen widerstehen: der Median für die Lage, die mediane absolute Abweichung (MAD) für die Skala und das getrimmte Mittel, das vor dem Mitteln einen Anteil der kleinsten und größten Werte verwirft. Winsorisieren ist ähnlich, kappt aber die Extreme, statt sie zu verwerfen.

Ein schlechter TagNehmen Sie die Stichprobe

2,\,3,\,3,\,4,\,100

. Der Mittelwert ist

22{,}4

, wegen der 100 weit weg von jeder Beobachtung. Der Median ist

3

. Das Streichen des kleinsten und größten Werts ergibt ein getrimmtes Mittel von

(3+3+4)/3=3{,}33

. Die absoluten Abweichungen vom Median sind

1,0,0,1,97

, die MAD ist also

1

. Vergleichen Sie die Stichprobenstandardabweichung von etwa 43,4: Ein Wert machte aus einer typischen Streuung von 1 eine 40-mal größere Zahl.

Lage: Mittelwert (fragil), Median und getrimmtes Mittel (robust).
Skala: Standardabweichung (fragil), MAD und Interquartilsabstand (robust).
Robustheit ist nicht gratis: Bei sauberen Normaldaten ist der Mittelwert präziser als der Median, wählen Sie also nach den erwarteten Daten.

Löschen Sie Ausreißer nicht, entscheiden Sie über sieEin Crash-Tag sind echte Daten, und ein Risikomodell, das ihn wegtrimmt, meldet eine ruhige Welt. Ein falscher Kurs ist ein Fehler und gehört an der Quelle korrigiert. Prüfen Sie jeden Ausreißer, ordnen Sie ihn als Fehler oder Ereignis ein und wählen Sie dann bewusst eine Methode: Robuste Statistiken beschreiben den typischen Tag, während Mittelwert und Standardabweichung die richtigen Werkzeuge bleiben, wenn gerade die Extreme interessieren, wie im Risiko.

Lab: Was bewertet wird

Der Mittelwert10 Pkt.
Der Median10 Pkt.
Ein getrimmtes Mittel15 Pkt.
Die mediane absolute Abweichung15 Pkt.
Welche Schätzer sind robust15 Pkt.
Eine Stichprobenstandardabweichung15 Pkt.
Ein Extremtag20 Pkt.

Eine unordentliche Stichprobe zusammenfassen

\operatorname{MAD}=\operatorname{median}_i\,|x_i-\operatorname{median}(x)|

(1)

Ein schlechter TagNehmen Sie die Stichprobe

2,\,3,\,3,\,4,\,100

. Der Mittelwert ist

22{,}4

, wegen der 100 weit weg von jeder Beobachtung. Der Median ist

3

. Das Streichen des kleinsten und größten Werts ergibt ein getrimmtes Mittel von

(3+3+4)/3=3{,}33

. Die absoluten Abweichungen vom Median sind

1,0,0,1,97

, die MAD ist also

1

. Vergleichen Sie die Stichprobenstandardabweichung von etwa 43,4: Ein Wert machte aus einer typischen Streuung von 1 eine 40-mal größere Zahl.

Lage: Mittelwert (fragil), Median und getrimmtes Mittel (robust).
Skala: Standardabweichung (fragil), MAD und Interquartilsabstand (robust).
Robustheit ist nicht gratis: Bei sauberen Normaldaten ist der Mittelwert präziser als der Median, wählen Sie also nach den erwarteten Daten.

Lab: Was bewertet wird

Der Mittelwert10 Pkt.
Der Median10 Pkt.
Ein getrimmtes Mittel15 Pkt.
Die mediane absolute Abweichung15 Pkt.
Welche Schätzer sind robust15 Pkt.
Eine Stichprobenstandardabweichung15 Pkt.
Ein Extremtag20 Pkt.

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