描述统计与稳健估计量

概括一个杂乱的样本

描述统计把一个样本压缩成几个数：它位于何处（位置）、有多分散（尺度）以及形状如何。常用的概括是均值 $\bar x=\frac1n\sum x_i$ 和样本标准差 $s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum(x_i-\bar x)^2}$ ，分母用 $n-1$ 是因为均值已经用同一批数据估计过。它们对干净的钟形数据最优，其他情形则很脆弱。

\operatorname{MAD}=\operatorname{median}_i\,|x_i-\operatorname{median}(x)|

(1)

真实的收益率数据含有异常值：暴跌日、错误报价、并购等。仅一个极端值就会无限地拉动均值并抬高标准差，所以它们的崩溃点为零。稳健的替代方法能抵抗这种影响：用中位数衡量位置，用中位数绝对偏差（MAD）衡量尺度，以及截尾均值，即在求平均前先去掉一定比例的最小和最大值。缩尾（winsorising）类似，但是把极端值截到边界而不是丢弃。

一个坏日子取样本

2,\,3,\,3,\,4,\,100

。均值为

22.4

，因为那个 100，它离任何观测值都很远。中位数是

3

。去掉最小和最大值后的截尾均值为

(3+3+4)/3=3.33

。与中位数的绝对偏差为

1,0,0,1,97

，所以 MAD 为

1

。再看样本标准差约为 43.4：一个值把典型的离散度 1 变成了大 40 倍的数。

位置：均值（脆弱），中位数和截尾均值（稳健）。
尺度：标准差（脆弱），MAD 和四分位距（稳健）。
稳健并非没有代价：对干净的正态数据，均值比中位数更精确，所以要根据预期的数据来选择。

不要删除异常值，而要决定如何处理暴跌日是真实数据，把它剔除掉的风险模型描述的是一个平静的世界。错误报价则是错误，应在数据源头修正。要逐个检查异常值，标明是错误还是事件，然后有意识地选择方法：稳健统计量描述典型的一天，而当极端值恰恰是你关心的对象时（如风险），均值和标准差仍然是正确的工具。

实验：评分内容

均值10 分
中位数10 分
截尾均值15 分
中位数绝对偏差15 分
哪些估计量是稳健的15 分
样本标准差15 分
一个极端日20 分

概括一个杂乱的样本

\operatorname{MAD}=\operatorname{median}_i\,|x_i-\operatorname{median}(x)|

(1)

一个坏日子取样本

2,\,3,\,3,\,4,\,100

。均值为

22.4

，因为那个 100，它离任何观测值都很远。中位数是

3

。去掉最小和最大值后的截尾均值为

(3+3+4)/3=3.33

。与中位数的绝对偏差为

1,0,0,1,97

，所以 MAD 为

1

。再看样本标准差约为 43.4：一个值把典型的离散度 1 变成了大 40 倍的数。

位置：均值（脆弱），中位数和截尾均值（稳健）。
尺度：标准差（脆弱），MAD 和四分位距（稳健）。
稳健并非没有代价：对干净的正态数据，均值比中位数更精确，所以要根据预期的数据来选择。

实验：评分内容

均值10 分
中位数10 分
截尾均值15 分
中位数绝对偏差15 分
哪些估计量是稳健的15 分
样本标准差15 分
一个极端日20 分

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