الإحصاء الوصفي والمقدّرات المتينة

تلخيص عيّنة مشوّشة

يضغط الإحصاء الوصفي العيّنة في بضعة أعداد: أين تقع (الموضع) وما مدى انتشارها (المقياس) وما شكلها. والملخصات المعتادة هي المتوسط $\bar x=\frac1n\sum x_i$ والانحراف المعياري العيّني $s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum(x_i-\bar x)^2}$ مع $n-1$ في المقام لأن المتوسط قُدِّر أصلًا من البيانات نفسها. وهما الأمثل للبيانات النظيفة الجرسية الشكل وهشّان فيما عدا ذلك.

في بيانات العوائد الحقيقية قيم شاذة: يوم انهيار أو سعر خاطئ أو اندماج. وتكفي قيمة متطرفة واحدة لجرّ المتوسط وتضخيم الانحراف المعياري بلا حدّ، ولذلك نقطة انهيارهما صفر. وتقاوم البدائل المتينة ذلك: الوسيط للموضع والانحراف المطلق الوسيط (MAD) للمقياس والمتوسط المشذَّب الذي يستبعد جزءًا من أصغر القيم وأكبرها قبل الحساب. والتحصين (winsorising) مشابه لكنه يقصّ الأطراف بدل استبعادها.

• الموضع: المتوسط (هش) والوسيط والمتوسط المشذَّب (متينان).
• المقياس: الانحراف المعياري (هش) وMAD والمدى الربيعي (متينان).
• المتانة ليست مجانية: مع بيانات طبيعية نظيفة يكون المتوسط أدق من الوسيط، فاختر حسب البيانات المتوقعة.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• المتوسط10 نقطة
• الوسيط10 نقطة
• متوسط مشذَّب15 نقطة
• الانحراف المطلق الوسيط15 نقطة
• أي المقدّرات متينة15 نقطة
• انحراف معياري عيّني15 نقطة
• يوم متطرف واحد20 نقطة