Statistiques descriptives et estimateurs robustes

Résumer un échantillon désordonné

Les statistiques descriptives compressent un échantillon en quelques nombres : où il se situe (position), son étalement (échelle) et sa forme. Les résumés usuels sont la moyenne $\bar x=\frac1n\sum x_i$ et l'écart type empirique $s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum(x_i-\bar x)^2}$ , avec $n-1$ au dénominateur car la moyenne a déjà été estimée sur les mêmes données. Ils sont optimaux pour des données propres en cloche et fragiles sinon.

\operatorname{MAD}=\operatorname{median}_i\,|x_i-\operatorname{median}(x)|

(1)

Les vraies données de rendement ont des valeurs aberrantes : un jour de krach, un mauvais cours, une fusion. Une seule valeur extrême entraîne la moyenne et gonfle l'écart type sans limite : leur point de rupture est nul. Les alternatives robustes y résistent : la médiane pour la position, l'écart absolu médian (MAD) pour l'échelle, et la moyenne tronquée, qui écarte une fraction des plus petites et plus grandes valeurs avant de moyenner. La winsorisation est voisine mais écrête les extrêmes au lieu de les écarter.

Un mauvais jourPrenons l'échantillon

2,\,3,\,3,\,4,\,100

. La moyenne vaut

22{,}4

, loin de toute observation, à cause du 100. La médiane vaut

3

. Écarter la plus petite et la plus grande valeur donne une moyenne tronquée de

(3+3+4)/3=3{,}33

. Les écarts absolus à la médiane sont

1,0,0,1,97

, donc la MAD vaut

1

. Comparez à l'écart type empirique d'environ 43,4 : une seule valeur a transformé une dispersion typique de 1 en un nombre 40 fois plus grand.

Position : moyenne (fragile), médiane et moyenne tronquée (robustes).
Échelle : écart type (fragile), MAD et écart interquartile (robustes).
La robustesse a un prix : pour des données normales propres, la moyenne est plus précise que la médiane ; choisissez selon les données attendues.

Ne supprimez pas les valeurs aberrantes, décidez-enUn jour de krach est une vraie donnée, et un modèle de risque qui l'écarte décrit un monde calme. Un mauvais cours est une erreur à corriger à la source. Examinez chaque valeur aberrante, étiquetez-la erreur ou événement, puis choisissez une méthode en connaissance de cause : les statistiques robustes décrivent le jour typique, tandis que la moyenne et l'écart type restent les bons outils quand les extrêmes sont justement ce qui vous importe, comme en risque.

Lab : ce qui est noté

La moyenne10 pts
La médiane10 pts
Une moyenne tronquée15 pts
L'écart absolu médian15 pts
Quels estimateurs sont robustes15 pts
Un écart type empirique15 pts
Un jour extrême20 pts

Résumer un échantillon désordonné

\operatorname{MAD}=\operatorname{median}_i\,|x_i-\operatorname{median}(x)|

(1)

Un mauvais jourPrenons l'échantillon

2,\,3,\,3,\,4,\,100

. La moyenne vaut

22{,}4

, loin de toute observation, à cause du 100. La médiane vaut

3

. Écarter la plus petite et la plus grande valeur donne une moyenne tronquée de

(3+3+4)/3=3{,}33

. Les écarts absolus à la médiane sont

1,0,0,1,97

, donc la MAD vaut

1

. Comparez à l'écart type empirique d'environ 43,4 : une seule valeur a transformé une dispersion typique de 1 en un nombre 40 fois plus grand.

Position : moyenne (fragile), médiane et moyenne tronquée (robustes).
Échelle : écart type (fragile), MAD et écart interquartile (robustes).
La robustesse a un prix : pour des données normales propres, la moyenne est plus précise que la médiane ; choisissez selon les données attendues.

Lab : ce qui est noté

La moyenne10 pts
La médiane10 pts
Une moyenne tronquée15 pts
L'écart absolu médian15 pts
Quels estimateurs sont robustes15 pts
Un écart type empirique15 pts
Un jour extrême20 pts

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