Estadística descriptiva y estimadores robustos

Resumir una muestra desordenada

La estadística descriptiva comprime una muestra en unos pocos números: dónde se sitúa (posición), cuán dispersa es (escala) y qué forma tiene. Los resúmenes habituales son la media $\bar x=\frac1n\sum x_i$ y la desviación típica muestral $s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum(x_i-\bar x)^2}$ , con $n-1$ en el denominador porque la media ya se ha estimado con los mismos datos. Son óptimos para datos limpios en forma de campana y frágiles en otro caso.

\operatorname{MAD}=\operatorname{median}_i\,|x_i-\operatorname{median}(x)|

(1)

Los datos reales de rendimientos tienen valores atípicos: un día de desplome, un precio erróneo, una fusión. Un solo valor extremo arrastra la media e infla la desviación típica sin límite, por eso su punto de ruptura es cero. Las alternativas robustas lo resisten: la mediana para la posición, la desviación absoluta mediana (MAD) para la escala y la media truncada, que descarta una fracción de los valores menores y mayores antes de promediar. La winsorización es parecida pero recorta los extremos en lugar de descartarlos.

Un mal díaTomemos la muestra

2,\,3,\,3,\,4,\,100

. La media es

22{,}4

, lejos de cualquier observación, por culpa del 100. La mediana es

3

. Descartar el menor y el mayor da una media truncada de

(3+3+4)/3=3{,}33

. Las desviaciones absolutas respecto a la mediana son

1,0,0,1,97

, así que la MAD es

1

. Compárese con la desviación típica muestral de unos 43,4: un solo valor convirtió una dispersión típica de 1 en un número 40 veces mayor.

Posición: media (frágil), mediana y media truncada (robustas).
Escala: desviación típica (frágil), MAD y rango intercuartílico (robustos).
La robustez no es gratis: con datos normales limpios la media es más precisa que la mediana; elija según los datos esperados.

No borre los valores atípicos, decida sobre ellosUn día de desplome es un dato real, y un modelo de riesgo que lo recorta describe un mundo tranquilo. Un precio erróneo es un error y debe corregirse en origen. Examine cada valor atípico, etiquételo como error o evento y elija después un método a propósito: los estadísticos robustos describen el día típico, mientras que la media y la desviación típica siguen siendo las herramientas adecuadas cuando los extremos son justo lo que importa, como en riesgo.

Lab: qué se califica

La media10 pts
La mediana10 pts
Una media truncada15 pts
La desviación absoluta mediana15 pts
Qué estimadores son robustos15 pts
Una desviación típica muestral15 pts
Un día extremo20 pts

Resumir una muestra desordenada

\operatorname{MAD}=\operatorname{median}_i\,|x_i-\operatorname{median}(x)|

(1)

Un mal díaTomemos la muestra

2,\,3,\,3,\,4,\,100

. La media es

22{,}4

, lejos de cualquier observación, por culpa del 100. La mediana es

3

. Descartar el menor y el mayor da una media truncada de

(3+3+4)/3=3{,}33

. Las desviaciones absolutas respecto a la mediana son

1,0,0,1,97

, así que la MAD es

1

. Compárese con la desviación típica muestral de unos 43,4: un solo valor convirtió una dispersión típica de 1 en un número 40 veces mayor.

Posición: media (frágil), mediana y media truncada (robustas).
Escala: desviación típica (frágil), MAD y rango intercuartílico (robustos).
La robustez no es gratis: con datos normales limpios la media es más precisa que la mediana; elija según los datos esperados.

Lab: qué se califica

La media10 pts
La mediana10 pts
Una media truncada15 pts
La desviación absoluta mediana15 pts
Qué estimadores son robustos15 pts
Una desviación típica muestral15 pts
Un día extremo20 pts

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