المصفوفات كتحويلات خطية

المصفوفة آلة

تحوّل المصفوفة $A$ من الحجم $m\times n$ كل متجه إدخال $\mathbf{x}$ ذي $n$ مركّبة إلى متجه إخراج $A\mathbf{x}$ ذي $m$ مركّبة. والتحويل خطي: $A(a\mathbf{x}+b\mathbf{y})=aA\mathbf{x}+bA\mathbf{y}$، فتكبير المدخلات وجمعها يكبّر المخرجات ويجمعها. وفي المالية، إذا كان العمود $j$ من $A$ يضم استجابة كل أصل من $m$ أصلًا لعامل المخاطر $j$ فإن $A\mathbf{x}$ هو متجه عوائد الأصول لتحركات العوامل $\mathbf{x}$.

اقرأ الضرب بالأعمدة: $A\mathbf{x}$ تركيب من أعمدة $A$ أي $\mathbf{a}_j$ موزونة بمركّبات $\mathbf{x}$. وأخذ $\mathbf{x}=\mathbf{e}_1=(1,0,\dots,0)$ يستخرج العمود الأول، فأعمدة المصفوفة هي صور متجهات الوحدة. وهذا كل ما تحتاجه لكتابة أي تحويل خطي: حدّد أين يذهب كل متجه وحدة وضع النتائج في الأعمدة.

• التحويل الخطي: $f(a\mathbf{x}+b\mathbf{y})=af(\mathbf{x})+bf(\mathbf{y})$. وكل تحويل خطي بين فضاءين منتهيي البعد هو مصفوفة.
• الأعمدة: صور متجهات الوحدة، فـ $A\mathbf{e}_j$ هو العمود $j$.
• الصفر إلى الصفر: التحويل الخطي يرسل $\mathbf{0}$ دائمًا إلى $\mathbf{0}$.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• من الصور إلى المصفوفة20 نقطة
• مصفوفة في متجه15 نقطة
• اكتشف التحويل غير الخطي15 نقطة
• دوران20 نقطة
• المصفوفات وتأثيراتها15 نقطة
• لماذا الأعمدة هي صور15 نقطة