ضرب المصفوفات وكلفته

تركيب التحويلات

الجداء $AB$ هو التحويل الناتج عن تطبيق $B$ أولًا ثم $A$: $(AB)\mathbf{x}=A(B\mathbf{x})$. والعنصر $(i,j)$ من الجداء هو الجداء النقطي للصف $i$ من $A$ في العمود $j$ من $B$، لذا يجب أن تتوافق الأحجام: مصفوفة $m\times n$ في مصفوفة $n\times p$ تعطي مصفوفة $m\times p$. الجداء تجميعي $(AB)C=A(BC)$ وتوزيعي على الجمع، لكنه ليس تبديليًا عمومًا: $AB\neq BA$ لأن ترتيب الفعلين مهم.

حساب $AB$ لمصفوفة $m\times n$ ومصفوفة $n\times p$ يكلّف $mnp$ عملية ضرب وجمع (نحو $2mnp$ عملية عائمة). وللمصفوفتين $n\times n$ يصبح $n^3$، فمضاعفة $n$ تضاعف العمل ثماني مرات. أما ضرب مصفوفة في متجه فيكلّف $n^2$ فقط. ولأن الجداء تجميعي فموضع الأقواس لا يغيّر الناتج لكنه قد يغيّر الكلفة تغييرًا كبيرًا.

• قاعدة الأحجام: $(m\times n)(n\times p)=(m\times p)$؛ يجب أن يتطابق البعدان الداخليان.
• غير تبديلي: $AB\neq BA$ عمومًا، فلا تبدّل العوامل أبدًا.
• الكلفة: $mnp$ عملية ضرب وجمع؛ مصفوفة في متجه $n^2$ ومصفوفة في مصفوفة $n^3$.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• الجداء AB20 نقطة
• الجداء BA15 نقطة
• حجم الجداء10 نقطة
• عدّ عمليات الضرب والجمع15 نقطة
• طريقتان للتجميع20 نقطة
• لماذا يهم التجميع20 نقطة