Les matrices comme applications linéaires

Une matrice est une machine

Une matrice $A$ de taille $m\times n$ transforme tout vecteur d'entrée $\mathbf{x}$ à $n$ composantes en un vecteur de sortie $A\mathbf{x}$ à $m$ composantes. L'application est linéaire : $A(a\mathbf{x}+b\mathbf{y})=aA\mathbf{x}+bA\mathbf{y}$, donc multiplier et additionner les entrées multiplie et additionne les sorties. En finance, si la colonne $j$ de $A$ contient la réaction de chacun des $m$ actifs au facteur de risque $j$, alors $A\mathbf{x}$ est le vecteur des rendements des actifs pour les mouvements de facteurs $\mathbf{x}$.

Lisez le produit par colonnes : $A\mathbf{x}$ est une combinaison des colonnes $\mathbf{a}_j$ de $A$, pondérées par les composantes de $\mathbf{x}$. Prendre $\mathbf{x}=\mathbf{e}_1=(1,0,\dots,0)$ extrait la première colonne : les colonnes d'une matrice sont donc les images des vecteurs unitaires. C'est tout ce qu'il faut pour écrire n'importe quelle application linéaire : décidez où va chaque vecteur unitaire et placez les résultats dans les colonnes.

• Application linéaire : $f(a\mathbf{x}+b\mathbf{y})=af(\mathbf{x})+bf(\mathbf{y})$. Toute application linéaire entre espaces de dimension finie est une matrice.
• Colonnes : les images des vecteurs unitaires, donc $A\mathbf{e}_j$ est la colonne $j$.
• Zéro va sur zéro : une application linéaire envoie toujours $\mathbf{0}$ sur $\mathbf{0}$.

Lab : ce qui est noté

• Des images à la matrice20 pts
• Une matrice fois un vecteur15 pts
• Repérer l'application non linéaire15 pts
• Une rotation20 pts
• Matrices et effets15 pts
• Pourquoi les colonnes sont des images15 pts