Matrizen als lineare Abbildungen

Eine Matrix ist eine Maschine

Eine $m\times n$-Matrix $A$ macht aus jedem Eingabevektor $\mathbf{x}$ mit $n$ Einträgen einen Ausgabevektor $A\mathbf{x}$ mit $m$ Einträgen. Die Abbildung ist linear: $A(a\mathbf{x}+b\mathbf{y})=aA\mathbf{x}+bA\mathbf{y}$, Skalieren und Addieren der Eingaben skaliert und addiert also die Ausgaben. Enthält in der Finanzwelt die Spalte $j$ von $A$, wie jeder von $m$ Vermögenswerten auf den Risikofaktor $j$ reagiert, dann ist $A\mathbf{x}$ der Vektor der Renditen für die Faktorbewegungen $\mathbf{x}$.

Lesen Sie das Produkt spaltenweise: $A\mathbf{x}$ ist eine Kombination der Spalten $\mathbf{a}_j$ von $A$, gewichtet mit den Einträgen von $\mathbf{x}$. Mit $\mathbf{x}=\mathbf{e}_1=(1,0,\dots,0)$ erhält man die erste Spalte, die Spalten einer Matrix sind also die Bilder der Einheitsvektoren. Mehr braucht man nicht, um eine lineare Abbildung aufzuschreiben: Legen Sie fest, wohin jeder Einheitsvektor geht, und tragen Sie die Ergebnisse als Spalten ein.

• Lineare Abbildung: $f(a\mathbf{x}+b\mathbf{y})=af(\mathbf{x})+bf(\mathbf{y})$. Jede lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Räumen ist eine Matrix.
• Spalten: die Bilder der Einheitsvektoren, also ist $A\mathbf{e}_j$ die Spalte $j$.
• Null geht auf Null: Eine lineare Abbildung bildet $\mathbf{0}$ stets auf $\mathbf{0}$ ab.

Lab: Was bewertet wird

• Von den Bildern zur Matrix20 Pkt.
• Eine Matrix mal ein Vektor15 Pkt.
• Die nichtlineare Abbildung erkennen15 Pkt.
• Eine Drehung20 Pkt.
• Matrizen und ihre Wirkung15 Pkt.
• Warum Spalten Bilder sind15 Pkt.