矩阵是一台机器
m×n 矩阵 A 把每个有 n 个分量的输入向量 x 变成有 m 个分量的输出向量 Ax。这个映射是线性的：A(ax+by)=aAx+bAy，所以对输入做数乘和相加，输出也同样数乘和相加。在金融中，如果 A 的第 j 列表示 m 个资产各自对风险因子 j 的反应，那么 Ax 就是因子变动 x 对应的资产收益向量。
Ax=x1a1+x2a2+⋯+xnan(1) 按列来读这个乘积：Ax 是 A 的各列 aj 以 x 的分量为权的组合。取 x=e1=(1,0,…,0) 就取出第一列，所以矩阵的列就是单位向量的像。写出任何线性映射只需这一点：决定每个单位向量去向何处，把结果放进各列。
读写一个矩阵对
A=(1324)，列
(1,3) 和
(2,4) 是
e1 和
e2 的像。对
x=(1,1)：
Ax=1⋅(1,3)+1⋅(2,4)=(3,7)。逆时针旋转 90 度把
e1→(0,1)、
e2→(−1,0)，所以它的矩阵是
(01−10)。
- 线性映射：f(ax+by)=af(x)+bf(y)。有限维空间之间的线性映射都可以写成矩阵。
- 列：单位向量的像，即 Aej 是第 j 列。
- 零映到零：线性映射总把 0 映到 0。
线性不等于直线f(x)=2x+1 的图像是直线，但它不是线性的，因为 f(0)=1=0。加上常数（截距）得到的是仿射映射。回归的做法是给数据加一列 1，把仿射问题化为线性问题。 实验：评分内容
- 从像到矩阵20 分
- 矩阵乘向量15 分
- 找出非线性映射15 分
- 旋转20 分
- 矩阵及其作用15 分
- 为什么列就是像15 分
