Matrices como aplicaciones lineales

Una matriz es una máquina

Una matriz $A$ de tamaño $m\times n$ convierte todo vector de entrada $\mathbf{x}$ de $n$ componentes en un vector de salida $A\mathbf{x}$ de $m$ componentes. La aplicación es lineal: $A(a\mathbf{x}+b\mathbf{y})=aA\mathbf{x}+bA\mathbf{y}$, así que escalar y sumar entradas escala y suma salidas. En finanzas, si la columna $j$ de $A$ contiene cómo responde cada uno de los $m$ activos al factor de riesgo $j$, entonces $A\mathbf{x}$ es el vector de rendimientos de los activos para los movimientos de factores $\mathbf{x}$.

Lea el producto por columnas: $A\mathbf{x}$ es una combinación de las columnas $\mathbf{a}_j$ de $A$, ponderadas por las componentes de $\mathbf{x}$. Tomar $\mathbf{x}=\mathbf{e}_1=(1,0,\dots,0)$ extrae la primera columna, así que las columnas de una matriz son las imágenes de los vectores unitarios. Eso es todo lo que hace falta para escribir cualquier aplicación lineal: decida adónde va cada vector unitario y ponga los resultados en las columnas.

• Aplicación lineal: $f(a\mathbf{x}+b\mathbf{y})=af(\mathbf{x})+bf(\mathbf{y})$. Toda aplicación lineal entre espacios de dimensión finita es una matriz.
• Columnas: las imágenes de los vectores unitarios, así que $A\mathbf{e}_j$ es la columna $j$.
• El cero va al cero: una aplicación lineal siempre envía $\mathbf{0}$ a $\mathbf{0}$.

Lab: qué se califica

• De las imágenes a la matriz20 pts
• Una matriz por un vector15 pts
• Detectar la aplicación no lineal15 pts
• Una rotación20 pts
• Matrices y efectos15 pts
• Por qué las columnas son imágenes15 pts