Matrizes como transformações lineares

Uma matriz é uma máquina

Uma matriz $A$ de tamanho $m\times n$ transforma todo vetor de entrada $\mathbf{x}$ com $n$ componentes em um vetor de saída $A\mathbf{x}$ com $m$ componentes. A aplicação é linear: $A(a\mathbf{x}+b\mathbf{y})=aA\mathbf{x}+bA\mathbf{y}$, então escalar e somar entradas escala e soma saídas. Em finanças, se a coluna $j$ de $A$ guarda como cada um dos $m$ ativos reage ao fator de risco $j$, então $A\mathbf{x}$ é o vetor de retornos dos ativos para os movimentos de fatores $\mathbf{x}$.

Leia o produto por colunas: $A\mathbf{x}$ é uma combinação das colunas $\mathbf{a}_j$ de $A$, ponderadas pelas componentes de $\mathbf{x}$. Tomar $\mathbf{x}=\mathbf{e}_1=(1,0,\dots,0)$ extrai a primeira coluna, então as colunas de uma matriz são as imagens dos vetores unitários. É só isso que se precisa para escrever qualquer transformação linear: decida para onde vai cada vetor unitário e ponha os resultados nas colunas.

• Transformação linear: $f(a\mathbf{x}+b\mathbf{y})=af(\mathbf{x})+bf(\mathbf{y})$. Toda transformação linear entre espaços de dimensão finita é uma matriz.
• Colunas: as imagens dos vetores unitários, então $A\mathbf{e}_j$ é a coluna $j$.
• Zero vai para zero: uma transformação linear sempre leva $\mathbf{0}$ a $\mathbf{0}$.

Lab: o que é avaliado

• Das imagens à matriz20 pts
• Uma matriz vezes um vetor15 pts
• Identificar a transformação não linear15 pts
• Uma rotação20 pts
• Matrizes e efeitos15 pts
• Por que as colunas são imagens15 pts