波动率聚集与 ARCH

当方差不是常数时

收益几乎不相关，但并不独立：今天波动的大小能透露明天波动的大小。平静的几周之后是平静，动荡之后还是动荡。Engle (1982) 的 ARCH 模型让冲击的方差依赖于最近冲击的平方来刻画这一点：$r_t=\mu+\varepsilon_t$，$\varepsilon_t=\sigma_tz_t$，其中 $z_t$ 服从标准正态，$\sigma_t^{2}=\omega+\alpha_1\varepsilon_{t-1}^{2}+\dots+\alpha_q\varepsilon_{t-q}^{2}$。昨天的大冲击会推高今天的方差，而冲击本身的符号没有记忆。ARCH(1) 的无条件方差为 $\omega/(1-\alpha)$，并要求 $\alpha<1$。

即使冲击 $z_t$ 服从正态，ARCH 产生的收益也比正态分布尾部更厚，因为平静时段和动荡时段混在同一个样本里，这就是收益直方图出现超额峰度的原因。检验 ARCH 效应的做法是：取均值模型的残差 $\hat\varepsilon_t$，把 $\hat\varepsilon_t^{2}$ 对它自身的 $q$ 个滞后做回归，计算 Engle 统计量 $T R^{2}$，在无 ARCH 的原假设下服从 $\chi^{2}_q$。一个无需拟合的简单替代是指数加权移动平均 $\sigma_t^{2}=\lambda\sigma_{t-1}^{2}+(1-\lambda)r_{t-1}^{2}$，日度数据常用 RiskMetrics 的 $\lambda=0.94$。真实收益还有杠杆效应：同样幅度下，下跌比上涨更能推高下一期的方差，这是简单 ARCH 表示不了的。要复现波动率的长持续性需要很多 ARCH 滞后，而本技能稍后讲的 GARCH 只用很少的参数就能做到。

• ARCH($q$)：今日冲击的方差等于常数加上最近 $q$ 个冲击平方的加权和。
• Engle 检验：把残差平方对其滞后回归，使用 $T R^{2}\sim\chi^{2}_q$。
• $\lambda=0.94$ 的 EWMA 是无需拟合的替代方法；杠杆效应：下跌比上涨更能推高波动率。

实验：评分内容

• 长期方差15 分
• 冲击后的方差15 分
• EWMA 更新15 分
• Engle 统计量15 分
• ARCH 模型的尾部10 分
• 配对术语15 分
• 冲击刚过后的风险15 分