Agrupación de volatilidad y ARCH

Cuando la varianza no es constante

Los rendimientos están casi incorrelacionados, pero no son independientes: el tamaño del movimiento de hoy informa sobre el de mañana. Las semanas tranquilas siguen a las tranquilas y las turbulentas a las turbulentas. El modelo ARCH de Engle (1982) lo recoge haciendo que la varianza del choque dependa de los choques recientes al cuadrado: $r_t=\mu+\varepsilon_t$, $\varepsilon_t=\sigma_tz_t$ con $z_t$ normal estándar, y $\sigma_t^{2}=\omega+\alpha_1\varepsilon_{t-1}^{2}+\dots+\alpha_q\varepsilon_{t-q}^{2}$. Un gran choque ayer eleva la varianza hoy, y el choque en sí no tiene memoria en su signo. La varianza incondicional de un ARCH(1) es $\omega/(1-\alpha)$ y exige $\alpha<1$.

Incluso con choques $z_t$ normales, un ARCH produce rendimientos con colas más gruesas que una normal, porque en una misma muestra se mezclan un tramo tranquilo y uno turbulento. Por eso los histogramas de rendimientos muestran exceso de curtosis. Para contrastar efectos ARCH se toman los residuos $\hat\varepsilon_t$ de un modelo de la media, se regresa $\hat\varepsilon_t^{2}$ sobre sus propios $q$ retardos y se calcula el estadístico de Engle $T R^{2}$, que es $\chi^{2}_q$ bajo la nula de ausencia de ARCH. Una alternativa simple que no requiere ajuste es la media móvil exponencial, $\sigma_t^{2}=\lambda\sigma_{t-1}^{2}+(1-\lambda)r_{t-1}^{2}$, con $\lambda=0{,}94$ como valor de RiskMetrics para datos diarios. Los rendimientos reales muestran además un efecto apalancamiento: una caída eleva la siguiente varianza más que una subida del mismo tamaño, algo que el ARCH simple no representa. Reproducir la larga persistencia de la volatilidad exige muchos retardos ARCH, y GARCH, que se ve más adelante en esta habilidad, lo logra con pocos parámetros.

• ARCH($q$): la varianza del choque de hoy es una constante más una suma ponderada de los últimos $q$ choques al cuadrado.
• Prueba de Engle: regresar los residuos al cuadrado sobre sus retardos y usar $T R^{2}\sim\chi^{2}_q$.
• EWMA con $\lambda=0{,}94$ es una alternativa sin ajuste; apalancamiento: las caídas elevan la volatilidad más que las subidas.

Lab: qué se califica

• La varianza de largo plazo15 pts
• Varianza tras un choque15 pts
• Una actualización EWMA15 pts
• El estadístico de Engle15 pts
• Las colas de un modelo ARCH10 pts
• Emparejar el vocabulario15 pts
• El riesgo justo tras un choque15 pts