Regroupement de volatilité et ARCH

Quand la variance n'est pas constante

Les rendements sont presque non corrélés, mais pas indépendants : la taille du mouvement d'aujourd'hui renseigne sur celle de demain. Les semaines calmes suivent les semaines calmes et les agitées les agitées. Le modèle ARCH d'Engle (1982) capte cela en faisant dépendre la variance du choc des chocs récents au carré : $r_t=\mu+\varepsilon_t$, $\varepsilon_t=\sigma_tz_t$ avec $z_t$ normale centrée réduite, et $\sigma_t^{2}=\omega+\alpha_1\varepsilon_{t-1}^{2}+\dots+\alpha_q\varepsilon_{t-q}^{2}$. Un grand choc hier augmente la variance aujourd'hui, et le choc lui-même n'a pas de mémoire dans son signe. La variance inconditionnelle d'un ARCH(1) vaut $\omega/(1-\alpha)$ et exige $\alpha<1$.

Même avec des chocs $z_t$ normaux, un ARCH produit des rendements aux queues plus épaisses qu'une loi normale, car un épisode calme et un épisode agité sont mélangés dans un même échantillon. C'est pourquoi les histogrammes de rendements montrent un excès de kurtosis. Pour tester les effets ARCH, on prend les résidus $\hat\varepsilon_t$ d'un modèle de la moyenne, on régresse $\hat\varepsilon_t^{2}$ sur ses $q$ propres retards et on calcule la statistique d'Engle $T R^{2}$, de loi $\chi^{2}_q$ sous l'hypothèse nulle d'absence d'ARCH. Une alternative simple sans ajustement est la moyenne mobile exponentielle, $\sigma_t^{2}=\lambda\sigma_{t-1}^{2}+(1-\lambda)r_{t-1}^{2}$, avec $\lambda=0{,}94$ comme valeur RiskMetrics pour les données quotidiennes. Les rendements réels montrent aussi un effet de levier : une baisse augmente la variance suivante plus qu'une hausse de même taille, ce que l'ARCH simple ne représente pas. Reproduire la longue persistance de la volatilité demande beaucoup de retards ARCH ; GARCH, vu plus loin dans cette compétence, le fait avec peu de paramètres.

• ARCH($q$) : la variance du choc du jour est une constante plus une somme pondérée des $q$ derniers chocs au carré.
• Test d'Engle : régresser les résidus au carré sur leurs retards et utiliser $T R^{2}\sim\chi^{2}_q$.
• EWMA avec $\lambda=0{,}94$ est une alternative sans ajustement ; levier : les baisses augmentent plus la volatilité que les hausses.

Lab : ce qui est noté

• La variance de long terme15 pts
• Variance après un choc15 pts
• Une mise à jour EWMA15 pts
• La statistique d'Engle15 pts
• Les queues d'un modèle ARCH10 pts
• Associer le vocabulaire15 pts
• Le risque juste après un choc15 pts