تجمّع التقلب وARCH

حين لا يكون التباين ثابتًا

العوائد شبه غير مترابطة لكنها ليست مستقلة: حجم حركة اليوم يخبرك عن حجم حركة الغد. الأسابيع الهادئة تتبع الهادئة والمضطربة تتبع المضطربة. ويلتقط نموذج ARCH لإنجل (1982) هذا بجعل تباين الصدمة يعتمد على مربعات الصدمات الأخيرة: $r_t=\mu+\varepsilon_t$ و$\varepsilon_t=\sigma_tz_t$ مع $z_t$ طبيعي معياري و$\sigma_t^{2}=\omega+\alpha_1\varepsilon_{t-1}^{2}+\dots+\alpha_q\varepsilon_{t-q}^{2}$. فصدمة كبيرة بالأمس ترفع تباين اليوم، أما إشارة الصدمة نفسها فلا ذاكرة لها. والتباين غير الشرطي لـ ARCH(1) هو $\omega/(1-\alpha)$ ويتطلب $\alpha<1$.

حتى مع صدمات $z_t$ طبيعية ينتج ARCH عوائد بأذيال أسمك من التوزيع الطبيعي، لأن مقطعًا هادئًا وآخر مضطربًا يختلطان في عينة واحدة. ولهذا تُظهر مدرجات العوائد تفرطحًا زائدًا. ولاختبار آثار ARCH نأخذ بواقي $\hat\varepsilon_t$ نموذج المتوسط ونحدّر $\hat\varepsilon_t^{2}$ على $q$ من فجواته ونحسب إحصائية إنجل $T R^{2}$ التي تتبع $\chi^{2}_q$ تحت فرضية غياب ARCH. وبديل بسيط لا يحتاج ملاءمة هو المتوسط المتحرك الأسي $\sigma_t^{2}=\lambda\sigma_{t-1}^{2}+(1-\lambda)r_{t-1}^{2}$ مع $\lambda=0.94$ وهي قيمة RiskMetrics للبيانات اليومية. وتُظهر العوائد الحقيقية أيضًا أثر الرافعة: الهبوط يرفع التباين التالي أكثر من صعود بالحجم نفسه، وهذا ما لا يمثله ARCH البسيط. ويتطلب مجاراة الثبات الطويل للتقلب فجوات ARCH كثيرة، أما GARCH الذي نراه لاحقًا في هذه المهارة فيحققه بمعاملات قليلة.

• ARCH($q$): تباين صدمة اليوم ثابت زائد مجموع موزون لمربعات آخر $q$ صدمة.
• اختبار إنجل: انحدر مربعات البواقي على فجواتها واستعمل $T R^{2}\sim\chi^{2}_q$.
• EWMA مع $\lambda=0.94$ بديل بلا ملاءمة؛ والرافعة: الهبوط يرفع التقلب أكثر من الصعود.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• التباين طويل الأجل15 نقطة
• التباين بعد صدمة15 نقطة
• تحديث EWMA15 نقطة
• إحصائية إنجل15 نقطة
• أذيال نموذج ARCH10 نقطة
• طابق المصطلحات15 نقطة
• المخاطر مباشرة بعد صدمة15 نقطة