Agrupamento de volatilidade e ARCH

Quando a variância não é constante

Os retornos são quase não correlacionados, mas não independentes: o tamanho do movimento de hoje informa o de amanhã. Semanas calmas seguem semanas calmas e as turbulentas seguem as turbulentas. O modelo ARCH de Engle (1982) capta isso fazendo a variância do choque depender dos choques recentes ao quadrado: $r_t=\mu+\varepsilon_t$, $\varepsilon_t=\sigma_tz_t$ com $z_t$ normal padrão, e $\sigma_t^{2}=\omega+\alpha_1\varepsilon_{t-1}^{2}+\dots+\alpha_q\varepsilon_{t-q}^{2}$. Um grande choque ontem eleva a variância hoje, e o choque em si não tem memória no sinal. A variância incondicional de um ARCH(1) é $\omega/(1-\alpha)$ e exige $\alpha<1$.

Mesmo com choques $z_t$ normais, um ARCH produz retornos com caudas mais grossas que uma normal, porque um trecho calmo e um turbulento se misturam na mesma amostra. Por isso os histogramas de retornos mostram excesso de curtose. Para testar efeitos ARCH, tomam-se os resíduos $\hat\varepsilon_t$ de um modelo da média, regride-se $\hat\varepsilon_t^{2}$ nas suas próprias $q$ defasagens e calcula-se a estatística de Engle $T R^{2}$, que é $\chi^{2}_q$ sob a nula de ausência de ARCH. Uma alternativa simples que não exige ajuste é a média móvel exponencial, $\sigma_t^{2}=\lambda\sigma_{t-1}^{2}+(1-\lambda)r_{t-1}^{2}$, com $\lambda=0{,}94$ como valor RiskMetrics para dados diários. Os retornos reais também mostram um efeito alavancagem: uma queda eleva a próxima variância mais que uma alta do mesmo tamanho, o que o ARCH simples não representa. Reproduzir a longa persistência da volatilidade pede muitas defasagens ARCH, e o GARCH, visto mais adiante nesta habilidade, faz isso com poucos parâmetros.

• ARCH($q$): a variância do choque de hoje é uma constante mais uma soma ponderada dos últimos $q$ choques ao quadrado.
• Teste de Engle: regredir os resíduos ao quadrado nas suas defasagens e usar $T R^{2}\sim\chi^{2}_q$.
• EWMA com $\lambda=0{,}94$ é uma alternativa sem ajuste; alavancagem: quedas elevam a volatilidade mais que altas.

Lab: o que é avaliado

• A variância de longo prazo15 pts
• Variância após um choque15 pts
• Uma atualização EWMA15 pts
• A estatística de Engle15 pts
• As caudas de um modelo ARCH10 pts
• Associar o vocabulário15 pts
• O risco logo após um choque15 pts