Volatilitäts-Clustering und ARCH

Wenn die Varianz nicht konstant ist

Renditen sind nahezu unkorreliert, aber nicht unabhängig: Die Größe der heutigen Bewegung sagt etwas über die der morgigen. Ruhige Wochen folgen auf ruhige, unruhige auf unruhige. Das ARCH-Modell von Engle (1982) erfasst das, indem die Varianz des Schocks von den jüngsten quadrierten Schocks abhängt: $r_t=\mu+\varepsilon_t$, $\varepsilon_t=\sigma_tz_t$ mit standardnormalem $z_t$ und $\sigma_t^{2}=\omega+\alpha_1\varepsilon_{t-1}^{2}+\dots+\alpha_q\varepsilon_{t-q}^{2}$. Ein großer Schock gestern erhöht die Varianz heute, und der Schock selbst hat im Vorzeichen kein Gedächtnis. Die unbedingte Varianz eines ARCH(1) ist $\omega/(1-\alpha)$ und verlangt $\alpha<1$.

Selbst bei normalen Schocks $z_t$ erzeugt ein ARCH Renditen mit dickeren Rändern als eine Normalverteilung, weil sich eine ruhige und eine unruhige Phase in einer Stichprobe mischen. Deshalb zeigen Renditehistogramme Excess-Kurtosis. Zum Test auf ARCH-Effekte nimmt man die Residuen $\hat\varepsilon_t$ eines Mittelwertmodells, regressiert $\hat\varepsilon_t^{2}$ auf die eigenen $q$ Lags und berechnet Engles Statistik $T R^{2}$, die unter der Nullhypothese ohne ARCH $\chi^{2}_q$-verteilt ist. Eine einfache Alternative ohne Anpassung ist der exponentiell gewichtete gleitende Durchschnitt, $\sigma_t^{2}=\lambda\sigma_{t-1}^{2}+(1-\lambda)r_{t-1}^{2}$, mit $\lambda=0{,}94$ als RiskMetrics-Standard für Tagesdaten. Reale Renditen zeigen zudem einen Leverage-Effekt: Ein Rückgang erhöht die nächste Varianz stärker als ein gleich großer Anstieg, was das einfache ARCH nicht abbildet. Die lange Persistenz der Volatilität verlangt viele ARCH-Lags, und GARCH, später in dieser Fähigkeit, schafft das mit wenigen Parametern.

• ARCH($q$): Die Varianz des heutigen Schocks ist eine Konstante plus eine gewichtete Summe der letzten $q$ quadrierten Schocks.
• Engles Test: quadrierte Residuen auf ihre Lags regressieren und $T R^{2}\sim\chi^{2}_q$ verwenden.
• EWMA mit $\lambda=0{,}94$ ist eine Alternative ohne Anpassung; Leverage: Rückgänge erhöhen die Volatilität stärker als Anstiege.

Lab: Was bewertet wird

• Die langfristige Varianz15 Pkt.
• Varianz nach einem Schock15 Pkt.
• Eine EWMA-Aktualisierung15 Pkt.
• Engles Statistik15 Pkt.
• Die Ränder eines ARCH-Modells10 Pkt.
• Begriffe zuordnen15 Pkt.
• Das Risiko direkt nach einem Schock15 Pkt.