用 scipy.stats 做分布与拟合

每个分布一个对象

scipy.stats 把每个概率分布都做成一个对象，例如 stats.norm、stats.t 和 stats.lognorm。它们都有相同的四个方法。pdf(x) 是密度，表示 $x$ 附近的值有多可能。cdf(x) 是取值不超过 $x$ 的概率。ppf(p) 是 cdf 的反函数：返回使下方概率为 $p$ 的值 $x$，称为分位数。rvs(size) 生成随机数。每个分布都有位置（loc）和尺度（scale），所以取值等于 loc + scale * 标准值。调用 dist.fit(data) 会做最大似然，也就是选出使你的数据最可能出现的参数。对正态分布，拟合的均值就是样本均值，拟合的标准差除以 $n$ 而不是 $n-1$。

日收益率有厚尾：大涨大跌的日子比正态曲线所说的多得多。自由度为 $\nu$ 的学生 t 分布尾部更厚，$\nu$ 越小尾部越厚。它的方差是 $\nu/(\nu-2)$（需要 $\nu>2$），所以要让它有选定的标准差 $\sigma$，就用尺度 $s=\sigma\sqrt{(\nu-2)/\nu}$。一天 99% 的风险价值（VaR）是只有 1% 的日子会被超过的损失，由收益率的 1% 分位数得到。

• 同样的四个方法：pdf 求密度，cdf 求下方概率，ppf 求分位数，rvs 生成随机数。
• 先拟合，再检验：fit 给出最大似然参数（正态的 sigma 除以 $n$），还要把极端日子的个数与数据对比。
• 厚尾对风险很重要：$\nu$ 较小的 t 分布，在标准差相同时给出比正态更大的 VaR。

实验：评分内容

• 正态 VaR15 分
• 最大似然 sigma15 分
• t 分布的尺度10 分
• t 分布的 VaR15 分
• 四个共有方法10 分
• 尾部风险的流程10 分
• 为什么正态会低估损失25 分