Distribuciones y ajuste con scipy.stats

Un objeto para cada distribución

scipy.stats ofrece cada distribución de probabilidad como un objeto, por ejemplo stats.norm, stats.t y stats.lognorm. Todas comparten los mismos cuatro métodos. pdf(x) es la densidad, que indica cuán probables son los valores cercanos a $x$ . cdf(x) es la probabilidad de estar en $x$ o por debajo. ppf(p) es la inversa de la cdf: devuelve el valor $x$ por debajo del cual hay probabilidad $p$ , llamado cuantil. rvs(size) genera números aleatorios. Cada distribución tiene una posición (loc) y una escala (scale), así que un valor es loc + scale * valor_estándar. La llamada dist.fit(data) hace máxima verosimilitud, es decir, elige los parámetros que hacen más probables sus datos. En una normal, la media ajustada es la media muestral y la desviación típica ajustada divide por $n$ , no por $n-1$ .

Los rendimientos diarios tienen colas gruesas: los días grandes ocurren mucho más a menudo de lo que dice una curva normal. Una distribución t de Student con $\nu$ grados de libertad tiene colas más gruesas, y un $\nu$ menor da colas más gruesas. Su varianza es $\nu/(\nu-2)$ (hace falta $\nu>2$ ), así que para darle una desviación típica $\sigma$ elegida se usa la escala $s=\sigma\sqrt{(\nu-2)/\nu}$ . El valor en riesgo (VaR) al 99 % a un día es la pérdida que se supera solo el 1 % de los días. Se obtiene del cuantil del 1 % de los rendimientos.

\mathrm{VaR}_{99}=-(\mu+\sigma z_{0.01})\ \text{with}\ z_{0.01}=-2.3263,\qquad \mathrm{VaR}^{t}_{99}=-(\mu+s\,t_{0.01,\nu}),\quad s=\sigma\sqrt{\frac{\nu-2}{\nu}}

(1)

Un VaR al 99 % de dos manerasTomemos un rendimiento diario medio de

\mu=0{,}05\%

y una desviación típica de

\sigma=1{,}2\%

. Con una normal,

z_{0,01}=-2{,}3263

, así que

\mathrm{VaR}=2{,}3263\cdot1{,}2-0{,}05=2{,}74\%

. Ahora usemos una t con

\nu=4

y el mismo

\sigma

. La escala es

s=1{,}2\sqrt{2/4}=0{,}85

y el cuantil del 1 % de la t estándar es

-3{,}7469

, así que

\mathrm{VaR}=3{,}7469\cdot0{,}85-0{,}05=3{,}13\%

. La curva t da una pérdida mayor porque pone más peso lejos en la cola. Con datos reales, SPY tiene

5\,403

rendimientos diarios con media

0{,}039\%

y desviación típica

1{,}196\%

. El ajuste normal sitúa el cuantil del 1 % en

-2{,}74\%

, pero el cuantil real del 1 % es

-3{,}52\%

. Su exceso de curtosis es

14{,}6

y el mejor ajuste t tiene

\nu=2{,}45

. Una caída de más del

4\%

ocurrió en

42

días, donde la normal espera unos

2

Los mismos cuatro métodos: pdf para la densidad, cdf para la probabilidad por debajo, ppf para el cuantil y rvs para los sorteos.
Ajustar y luego comprobar: fit da los parámetros de máxima verosimilitud (el sigma normal divide por $n$ ) y aún hay que comparar el número de días extremos con los datos.
Las colas gruesas importan para el riesgo: una t con $\nu$ pequeño da un VaR mayor que una normal con la misma desviación típica.

Lab: qué se califica

Un VaR normal15 pts
El sigma de máxima verosimilitud15 pts
La escala de una t10 pts
El VaR de la t15 pts
Los cuatro métodos comunes10 pts
Un flujo de riesgo de cola10 pts
Por qué la normal subestima la pérdida25 pts

Un objeto para cada distribución

\mathrm{VaR}_{99}=-(\mu+\sigma z_{0.01})\ \text{with}\ z_{0.01}=-2.3263,\qquad \mathrm{VaR}^{t}_{99}=-(\mu+s\,t_{0.01,\nu}),\quad s=\sigma\sqrt{\frac{\nu-2}{\nu}}

(1)

Un VaR al 99 % de dos manerasTomemos un rendimiento diario medio de

\mu=0{,}05\%

y una desviación típica de

\sigma=1{,}2\%

. Con una normal,

z_{0,01}=-2{,}3263

, así que

\mathrm{VaR}=2{,}3263\cdot1{,}2-0{,}05=2{,}74\%

. Ahora usemos una t con

\nu=4

y el mismo

\sigma

. La escala es

s=1{,}2\sqrt{2/4}=0{,}85

y el cuantil del 1 % de la t estándar es

-3{,}7469

, así que

\mathrm{VaR}=3{,}7469\cdot0{,}85-0{,}05=3{,}13\%

. La curva t da una pérdida mayor porque pone más peso lejos en la cola. Con datos reales, SPY tiene

5\,403

rendimientos diarios con media

0{,}039\%

y desviación típica

1{,}196\%

. El ajuste normal sitúa el cuantil del 1 % en

-2{,}74\%

, pero el cuantil real del 1 % es

-3{,}52\%

. Su exceso de curtosis es

14{,}6

y el mejor ajuste t tiene

\nu=2{,}45

. Una caída de más del

4\%

ocurrió en

42

días, donde la normal espera unos

2

Los mismos cuatro métodos: pdf para la densidad, cdf para la probabilidad por debajo, ppf para el cuantil y rvs para los sorteos.
Ajustar y luego comprobar: fit da los parámetros de máxima verosimilitud (el sigma normal divide por $n$ ) y aún hay que comparar el número de días extremos con los datos.
Las colas gruesas importan para el riesgo: una t con $\nu$ pequeño da un VaR mayor que una normal con la misma desviación típica.

Lab: qué se califica

Un VaR normal15 pts
El sigma de máxima verosimilitud15 pts
La escala de una t10 pts
El VaR de la t15 pts
Los cuatro métodos comunes10 pts
Un flujo de riesgo de cola10 pts
Por qué la normal subestima la pérdida25 pts

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