Lois de probabilité et ajustement avec scipy.stats

Un objet pour chaque loi

scipy.stats fournit chaque loi de probabilité sous forme d'un objet, par exemple stats.norm, stats.t et stats.lognorm. Toutes partagent les quatre mêmes méthodes. pdf(x) est la densité, qui dit à quel point les valeurs proches de $x$ sont probables. cdf(x) est la probabilité d'être inférieur ou égal à $x$ . ppf(p) est l'inverse de la cdf : elle renvoie la valeur $x$ sous laquelle se trouve la probabilité $p$ , appelée quantile. rvs(size) tire des nombres aléatoires. Chaque loi a une position (loc) et une échelle (scale), donc une valeur s'écrit loc + scale * valeur_standard. L'appel dist.fit(data) fait un maximum de vraisemblance, c'est-à-dire qu'il choisit les paramètres qui rendent vos données les plus probables. Pour une loi normale, la moyenne ajustée est la moyenne de l'échantillon et l'écart type ajusté divise par $n$ , non par $n-1$ .

Les rendements quotidiens ont des queues épaisses : les grosses journées arrivent bien plus souvent que ne le dit une courbe normale. Une loi de Student à $\nu$ degrés de liberté a des queues plus épaisses, et un $\nu$ plus petit donne des queues plus épaisses. Sa variance est $\nu/(\nu-2)$ (il faut $\nu>2$ ), donc pour lui donner un écart type $\sigma$ choisi on utilise l'échelle $s=\sigma\sqrt{(\nu-2)/\nu}$ . La valeur à risque (VaR) à 99 % sur un jour est la perte dépassée seulement 1 % des jours. On l'obtient à partir du quantile à 1 % des rendements.

\mathrm{VaR}_{99}=-(\mu+\sigma z_{0.01})\ \text{with}\ z_{0.01}=-2.3263,\qquad \mathrm{VaR}^{t}_{99}=-(\mu+s\,t_{0.01,\nu}),\quad s=\sigma\sqrt{\frac{\nu-2}{\nu}}

(1)

Une VaR à 99 % de deux façonsPrenons un rendement quotidien moyen de

\mu=0{,}05\%

et un écart type de

\sigma=1{,}2\%

. Avec une loi normale,

z_{0,01}=-2{,}3263

, donc

\mathrm{VaR}=2{,}3263\cdot1{,}2-0{,}05=2{,}74\%

. Utilisons maintenant une loi t avec

\nu=4

et le même

\sigma

. L'échelle est

s=1{,}2\sqrt{2/4}=0{,}85

et le quantile à 1 % de la t standard est

-3{,}7469

, donc

\mathrm{VaR}=3{,}7469\cdot0{,}85-0{,}05=3{,}13\%

. La courbe t donne une perte plus grande parce qu'elle met plus de poids loin dans la queue. Sur données réelles, SPY a

5\,403

rendements quotidiens de moyenne

0{,}039\%

et d'écart type

1{,}196\%

. L'ajustement normal place le quantile à 1 % en

-2{,}74\%

, mais le vrai quantile à 1 % est

-3{,}52\%

. Son excès de kurtosis est

14{,}6

et le meilleur ajustement t a

\nu=2{,}45

. Une baisse de plus de

4\%

s'est produite

42

jours, là où la loi normale en prévoit environ

2

Les quatre mêmes méthodes : pdf pour la densité, cdf pour la probabilité en dessous, ppf pour le quantile et rvs pour les tirages.
Ajuster puis vérifier : fit donne les paramètres du maximum de vraisemblance (le sigma normal divise par $n$ ), et il faut encore comparer les nombres de jours extrêmes avec les données.
Les queues épaisses comptent pour le risque : une loi t avec un petit $\nu$ donne une VaR plus grande qu'une normale de même écart type.

Lab : ce qui est noté

Une VaR normale15 pts
Le sigma du maximum de vraisemblance15 pts
L'échelle d'une loi t10 pts
La VaR de la loi t15 pts
Les quatre méthodes communes10 pts
Un flux d'analyse du risque de queue10 pts
Pourquoi la normale sous-estime la perte25 pts

Un objet pour chaque loi

\mathrm{VaR}_{99}=-(\mu+\sigma z_{0.01})\ \text{with}\ z_{0.01}=-2.3263,\qquad \mathrm{VaR}^{t}_{99}=-(\mu+s\,t_{0.01,\nu}),\quad s=\sigma\sqrt{\frac{\nu-2}{\nu}}

(1)

Une VaR à 99 % de deux façonsPrenons un rendement quotidien moyen de

\mu=0{,}05\%

et un écart type de

\sigma=1{,}2\%

. Avec une loi normale,

z_{0,01}=-2{,}3263

, donc

\mathrm{VaR}=2{,}3263\cdot1{,}2-0{,}05=2{,}74\%

. Utilisons maintenant une loi t avec

\nu=4

et le même

\sigma

. L'échelle est

s=1{,}2\sqrt{2/4}=0{,}85

et le quantile à 1 % de la t standard est

-3{,}7469

, donc

\mathrm{VaR}=3{,}7469\cdot0{,}85-0{,}05=3{,}13\%

. La courbe t donne une perte plus grande parce qu'elle met plus de poids loin dans la queue. Sur données réelles, SPY a

5\,403

rendements quotidiens de moyenne

0{,}039\%

et d'écart type

1{,}196\%

. L'ajustement normal place le quantile à 1 % en

-2{,}74\%

, mais le vrai quantile à 1 % est

-3{,}52\%

. Son excès de kurtosis est

14{,}6

et le meilleur ajustement t a

\nu=2{,}45

. Une baisse de plus de

4\%

s'est produite

42

jours, là où la loi normale en prévoit environ

2

Les quatre mêmes méthodes : pdf pour la densité, cdf pour la probabilité en dessous, ppf pour le quantile et rvs pour les tirages.
Ajuster puis vérifier : fit donne les paramètres du maximum de vraisemblance (le sigma normal divise par $n$ ), et il faut encore comparer les nombres de jours extrêmes avec les données.
Les queues épaisses comptent pour le risque : une loi t avec un petit $\nu$ donne une VaR plus grande qu'une normale de même écart type.

Lab : ce qui est noté

Une VaR normale15 pts
Le sigma du maximum de vraisemblance15 pts
L'échelle d'une loi t10 pts
La VaR de la loi t15 pts
Les quatre méthodes communes10 pts
Un flux d'analyse du risque de queue10 pts
Pourquoi la normale sous-estime la perte25 pts

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