Verteilungen und Anpassung mit scipy.stats

Ein Objekt für jede Verteilung

scipy.stats stellt jede Wahrscheinlichkeitsverteilung als ein Objekt bereit, zum Beispiel stats.norm, stats.t und stats.lognorm. Alle haben dieselben vier Methoden. pdf(x) ist die Dichte und sagt, wie wahrscheinlich Werte nahe $x$ sind. cdf(x) ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens $x$ zu sein. ppf(p) ist die Umkehrung der cdf: Sie liefert den Wert $x$, unter dem die Wahrscheinlichkeit $p$ liegt, ein Quantil. rvs(size) zieht Zufallszahlen. Jede Verteilung hat einen Ort (loc) und eine Skala (scale), ein Wert ist also loc + scale * Standardwert. Der Aufruf dist.fit(data) führt Maximum Likelihood aus, wählt also die Parameter, die Ihre Daten am wahrscheinlichsten machen. Bei der Normalverteilung ist der angepasste Mittelwert der Stichprobenmittelwert, und die angepasste Standardabweichung teilt durch $n$, nicht durch $n-1$.

Tagesrenditen haben dicke Ränder: Große Tage kommen viel häufiger vor, als eine Normalkurve sagt. Eine Student-t-Verteilung mit $\nu$ Freiheitsgraden hat dickere Ränder, und ein kleineres $\nu$ bedeutet dickere Ränder. Ihre Varianz ist $\nu/(\nu-2)$ (es braucht $\nu>2$), um ihr also eine gewählte Standardabweichung $\sigma$ zu geben, nimmt man die Skala $s=\sigma\sqrt{(\nu-2)/\nu}$. Der Ein-Tages-Value-at-Risk (VaR) zu 99 % ist der Verlust, der nur an 1 % der Tage überschritten wird. Man erhält ihn aus dem 1-%-Quantil der Renditen.

• Dieselben vier Methoden: pdf für die Dichte, cdf für die Wahrscheinlichkeit darunter, ppf für das Quantil und rvs für Zufallszüge.
• Anpassen, dann prüfen: fit liefert die Maximum-Likelihood-Parameter (das Normal-Sigma teilt durch $n$), und man vergleicht weiterhin die Zahl extremer Tage mit den Daten.
• Dicke Ränder zählen beim Risiko: Eine t-Verteilung mit kleinem $\nu$ ergibt einen größeren VaR als eine Normalverteilung mit gleicher Standardabweichung.

Lab: Was bewertet wird

• Ein Normal-VaR15 Pkt.
• Das Maximum-Likelihood-Sigma15 Pkt.
• Die Skala einer t-Verteilung10 Pkt.
• Der VaR der t-Verteilung15 Pkt.
• Die vier gemeinsamen Methoden10 Pkt.
• Ein Randrisiko-Ablauf10 Pkt.
• Warum die Normalverteilung den Verlust unterschätzt25 Pkt.