事后回看
前向算法给出滤波概率：只用截至第 t 天的数据对第 t 天形成的信念。拿到整段历史之后，对过去可以做得更好。如果第一天看着平静，而第二、三天出现大波动，那么这些之后的日子就告诉了我们一些关于第一天的信息。平滑使用全部数据，它需要第二个量 βt(i)：在第 t 天处于状态 i 的条件下，第 t 天之后各观测的概率。它从 βT=1 开始向后计算。
βT(i)=1,βt(i)=j∑AijBj(ot+1)βt+1(j),γt(i)=∑kαt(k)βt(k)αt(i)βt(i)(1) 乘积 αt(i)βt(i) 是全部数据出现且第 t 天处于状态 i 的概率：α 覆盖过去和今天，β 覆盖未来。除以对各状态的求和，就得到平滑概率 γt(i)，即已知整个样本时对第 t 天的信念。对各状态把 αtβt 求和，对每个 t 都得到同一个数，即数据的概率。平滑概率是描述过去的正确工具，例如给历史状态打标签；但它不适合用来交易，因为当天并不知道未来。
事后看第一天对于 小、大、大：
β3=(1, 1)。接着
β2(C)=0.9⋅0.1+0.1⋅0.7=0.16，
β2(S)=0.2⋅0.1+0.8⋅0.7=0.58；再
β1(C)=0.9⋅0.1⋅0.16+0.1⋅0.7⋅0.58=0.055，
β1(S)=0.2⋅0.1⋅0.16+0.8⋅0.7⋅0.58=0.328。取
α1=(0.54, 0.12)：
α1β1=(0.0297, 0.0394)，和为
0.0691，即数据的概率。所以第一天为平静的平滑概率是
0.0297/0.0691=0.43，低于滤波的
0.82。后面两次大波动改变了我们的看法。
- 后向值 βt(i)：已知第 t 天状态时，之后所有观测的概率。
- 平滑 γt∝αtβt：已知过去与未来全部数据时对第 t 天的信念。
- 只用于描述过去：平滑概率用到了未来数据，不能用来交易。
实验：评分内容
- 一个后向值15 分
- 另一个后向值15 分
- 动荡的平滑概率15 分
- 校验和10 分
- 滤波与平滑之差10 分
- 平滑多用了什么10 分
- 配对术语10 分
- 为什么平滑与滤波不同15 分
