Lissage forward-backward

Regarder en arrière avec le recul

L'algorithme forward donne des probabilités filtrées : notre croyance sur le jour $t$ en n'utilisant que les données jusqu'au jour $t$ . Une fois l'historique complet disponible, on peut faire mieux pour le passé. Si le jour 1 semblait calme mais que les jours 2 et 3 ont eu de grands mouvements, ces jours ultérieurs nous disent quelque chose sur le jour 1. Le lissage utilise toutes les données. Il lui faut une seconde quantité $\beta_t(i)$ : la probabilité des observations après le jour $t$ , sachant que le jour $t$ est dans l'état $i$ . On la calcule à rebours, à partir de $\beta_T=1$ .

\beta_T(i)=1,\qquad \beta_t(i)=\sum_jA_{ij}B_j(o_{t+1})\beta_{t+1}(j),\qquad \gamma_t(i)=\frac{\alpha_t(i)\beta_t(i)}{\sum_k\alpha_t(k)\beta_t(k)}

(1)

Le produit $\alpha_t(i)\beta_t(i)$ est la probabilité de toutes les données avec l'état $i$ le jour $t$ : $\alpha$ couvre le passé et aujourd'hui, $\beta$ couvre le futur. Diviser par la somme sur les états donne la probabilité lissée $\gamma_t(i)$ , la croyance sur le jour $t$ sachant tout l'échantillon. Sommer $\alpha_t\beta_t$ sur les états donne le même nombre pour tout $t$ , la probabilité des données. Les probabilités lissées sont le bon outil pour décrire le passé, par exemple pour étiqueter des régimes historiques. Ce sont le mauvais outil pour trader, car le jour même le futur n'est pas connu.

Le jour 1 avec le reculPour Petit, Grand, Grand :

\beta_3=(1,\ 1)

. Puis

\beta_2(C)=0{,}9\cdot0{,}1+0{,}1\cdot0{,}7=0{,}16

\beta_2(O)=0{,}2\cdot0{,}1+0{,}8\cdot0{,}7=0{,}58

. Ensuite

\beta_1(C)=0{,}9\cdot0{,}1\cdot0{,}16+0{,}1\cdot0{,}7\cdot0{,}58=0{,}055

\beta_1(O)=0{,}2\cdot0{,}1\cdot0{,}16+0{,}8\cdot0{,}7\cdot0{,}58=0{,}328

. Avec

\alpha_1=(0{,}54,\ 0{,}12)

\alpha_1\beta_1=(0{,}0297,\ 0{,}0394)

, qui somment à

0{,}0691

, la probabilité des données. La probabilité lissée de Calme le jour 1 est donc

0{,}0297/0{,}0691=0{,}43

, contre

0{,}82

filtrée. Les deux grands mouvements qui ont suivi nous ont fait changer d'avis.

Valeurs backward $\beta_t(i)$ : la probabilité de toutes les observations suivantes sachant l'état du jour $t$ .
Lissage $\gamma_t\propto\alpha_t\beta_t$ : la croyance sur le jour $t$ sachant toutes les données, passées et futures.
Pour décrire le passé seulement : les probabilités lissées utilisent des données futures, on ne peut donc pas trader dessus.

Lab : ce qui est noté

Une valeur backward15 pts
Une autre valeur backward15 pts
La probabilité lissée d'orageux15 pts
Une vérification de la somme10 pts
Filtré contre lissé10 pts
Ce qu'ajoute le lissage10 pts
Associer le vocabulaire10 pts
Pourquoi lissé et filtré diffèrent15 pts

Regarder en arrière avec le recul

\beta_T(i)=1,\qquad \beta_t(i)=\sum_jA_{ij}B_j(o_{t+1})\beta_{t+1}(j),\qquad \gamma_t(i)=\frac{\alpha_t(i)\beta_t(i)}{\sum_k\alpha_t(k)\beta_t(k)}

(1)

Le jour 1 avec le reculPour Petit, Grand, Grand :

\beta_3=(1,\ 1)

. Puis

\beta_2(C)=0{,}9\cdot0{,}1+0{,}1\cdot0{,}7=0{,}16

\beta_2(O)=0{,}2\cdot0{,}1+0{,}8\cdot0{,}7=0{,}58

. Ensuite

\beta_1(C)=0{,}9\cdot0{,}1\cdot0{,}16+0{,}1\cdot0{,}7\cdot0{,}58=0{,}055

\beta_1(O)=0{,}2\cdot0{,}1\cdot0{,}16+0{,}8\cdot0{,}7\cdot0{,}58=0{,}328

. Avec

\alpha_1=(0{,}54,\ 0{,}12)

\alpha_1\beta_1=(0{,}0297,\ 0{,}0394)

, qui somment à

0{,}0691

, la probabilité des données. La probabilité lissée de Calme le jour 1 est donc

0{,}0297/0{,}0691=0{,}43

, contre

0{,}82

filtrée. Les deux grands mouvements qui ont suivi nous ont fait changer d'avis.

Valeurs backward $\beta_t(i)$ : la probabilité de toutes les observations suivantes sachant l'état du jour $t$ .
Lissage $\gamma_t\propto\alpha_t\beta_t$ : la croyance sur le jour $t$ sachant toutes les données, passées et futures.
Pour décrire le passé seulement : les probabilités lissées utilisent des données futures, on ne peut donc pas trader dessus.

Lab : ce qui est noté

Une valeur backward15 pts
Une autre valeur backward15 pts
La probabilité lissée d'orageux15 pts
Une vérification de la somme10 pts
Filtré contre lissé10 pts
Ce qu'ajoute le lissage10 pts
Associer le vocabulaire10 pts
Pourquoi lissé et filtré diffèrent15 pts

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