Suavização forward-backward

Olhar para trás com distanciamento

O algoritmo forward dá probabilidades filtradas: nossa crença sobre o dia $t$ usando só os dados até o dia $t$ . Com todo o histórico podemos fazer melhor para o passado. Se o dia 1 parecia calmo mas os dias 2 e 3 tiveram movimentos grandes, esses dias posteriores nos dizem algo sobre o dia 1. A suavização usa todos os dados. Ela precisa de uma segunda quantidade $\beta_t(i)$ : a probabilidade das observações depois do dia $t$ , dado que o dia $t$ está no estado $i$ . Calcula-se para trás, a partir de $\beta_T=1$ .

\beta_T(i)=1,\qquad \beta_t(i)=\sum_jA_{ij}B_j(o_{t+1})\beta_{t+1}(j),\qquad \gamma_t(i)=\frac{\alpha_t(i)\beta_t(i)}{\sum_k\alpha_t(k)\beta_t(k)}

(1)

O produto $\alpha_t(i)\beta_t(i)$ é a probabilidade de todos os dados junto com estar no estado $i$ no dia $t$ : $\alpha$ cobre o passado e hoje, $\beta$ cobre o futuro. Dividir pela soma sobre os estados dá a probabilidade suavizada $\gamma_t(i)$ , a crença sobre o dia $t$ dada toda a amostra. Somar $\alpha_t\beta_t$ sobre os estados dá o mesmo número para todo $t$ , a probabilidade dos dados. As probabilidades suavizadas são a ferramenta certa para descrever o passado, por exemplo para rotular regimes históricos. São a ferramenta errada para operar, porque no próprio dia o futuro não é conhecido.

O dia 1 com distanciamentoPara Pequeno, Grande, Grande:

\beta_3=(1,\ 1)

. Depois

\beta_2(C)=0{,}9\cdot0{,}1+0{,}1\cdot0{,}7=0{,}16

\beta_2(T)=0{,}2\cdot0{,}1+0{,}8\cdot0{,}7=0{,}58

. Em seguida

\beta_1(C)=0{,}9\cdot0{,}1\cdot0{,}16+0{,}1\cdot0{,}7\cdot0{,}58=0{,}055

\beta_1(T)=0{,}2\cdot0{,}1\cdot0{,}16+0{,}8\cdot0{,}7\cdot0{,}58=0{,}328

. Com

\alpha_1=(0{,}54,\ 0{,}12)

\alpha_1\beta_1=(0{,}0297,\ 0{,}0394)

, que somam

0{,}0691

, a probabilidade dos dados. Então a probabilidade suavizada de Calmo no dia 1 é

0{,}0297/0{,}0691=0{,}43

, contra

0{,}82

filtrada. Os dois movimentos grandes que vieram depois nos fizeram mudar de ideia.

Valores backward $\beta_t(i)$ : a probabilidade de todas as observações seguintes dado o estado do dia $t$ .
Suavização $\gamma_t\propto\alpha_t\beta_t$ : a crença sobre o dia $t$ dados todos os dados, passados e futuros.
Só para descrever o passado: as probabilidades suavizadas usam dados futuros, então não servem para operar.

Lab: o que é avaliado

Um valor backward15 pts
Outro valor backward15 pts
A probabilidade suavizada de tempestuoso15 pts
Uma verificação da soma10 pts
Filtrado versus suavizado10 pts
O que a suavização acrescenta10 pts
Associar o vocabulário10 pts
Por que suavizado e filtrado diferem15 pts

Olhar para trás com distanciamento

\beta_T(i)=1,\qquad \beta_t(i)=\sum_jA_{ij}B_j(o_{t+1})\beta_{t+1}(j),\qquad \gamma_t(i)=\frac{\alpha_t(i)\beta_t(i)}{\sum_k\alpha_t(k)\beta_t(k)}

(1)

O dia 1 com distanciamentoPara Pequeno, Grande, Grande:

\beta_3=(1,\ 1)

. Depois

\beta_2(C)=0{,}9\cdot0{,}1+0{,}1\cdot0{,}7=0{,}16

\beta_2(T)=0{,}2\cdot0{,}1+0{,}8\cdot0{,}7=0{,}58

. Em seguida

\beta_1(C)=0{,}9\cdot0{,}1\cdot0{,}16+0{,}1\cdot0{,}7\cdot0{,}58=0{,}055

\beta_1(T)=0{,}2\cdot0{,}1\cdot0{,}16+0{,}8\cdot0{,}7\cdot0{,}58=0{,}328

. Com

\alpha_1=(0{,}54,\ 0{,}12)

\alpha_1\beta_1=(0{,}0297,\ 0{,}0394)

, que somam

0{,}0691

, a probabilidade dos dados. Então a probabilidade suavizada de Calmo no dia 1 é

0{,}0297/0{,}0691=0{,}43

, contra

0{,}82

filtrada. Os dois movimentos grandes que vieram depois nos fizeram mudar de ideia.

Valores backward $\beta_t(i)$ : a probabilidade de todas as observações seguintes dado o estado do dia $t$ .
Suavização $\gamma_t\propto\alpha_t\beta_t$ : a crença sobre o dia $t$ dados todos os dados, passados e futuros.
Só para descrever o passado: as probabilidades suavizadas usam dados futuros, então não servem para operar.

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Outro valor backward15 pts
A probabilidade suavizada de tempestuoso15 pts
Uma verificação da soma10 pts
Filtrado versus suavizado10 pts
O que a suavização acrescenta10 pts
Associar o vocabulário10 pts
Por que suavizado e filtrado diferem15 pts

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